(2013•嘉定區(qū)二模)如圖,已知點(diǎn)F(0,1),直線m:y=-1,P為平面上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作m的垂線,垂足為點(diǎn)Q,且
QP
QF
=
FP
FQ

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(2)(文)過軌跡C的準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)M作方向向量為
d
=(a,1)的直線m′與軌跡C交于不同兩點(diǎn)A、B,問是否存在實(shí)數(shù)a使得FA⊥FB?若存在,求出a的范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)(文)在問題(2)中,設(shè)線段AB的垂直平分線與y軸的交點(diǎn)為D(0,y0),求y0的取值范圍.
分析:(1)設(shè)P(x,y),由題意,Q(x,-1),利用向量的運(yùn)算即可得出;
(2)由(1)可知:軌跡C為拋物線,準(zhǔn)線方程為y=-1,即直線m,所以M(0,-1),當(dāng)a=0時(shí),直線m'的方程為x=0,與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn),故a≠0.把直線m'的方程與拋物線的方程聯(lián)立,利用判別式△、根與系數(shù)的關(guān)系、向量的運(yùn)算FA⊥FB?
FA
FB
=0
,即可得出a;
(3)由(2),得線段AB的中點(diǎn)為(
2
a
 , 
2
a2
-1)
,線段AB的垂直平分線的一個(gè)法向量為
n
=(a , 1)
,即可得到線段AB的垂直平分線的方程,利用(2)的a的取值范圍即可得出.
解答:解:(1)設(shè)P(x,y),由題意,Q(x,-1),
QP
=(0 , y+1)
,
QF
=(-x , 2)
,
FP
=(x , y-1)
FQ
=(x , -2)
,
QP
QF
=
FP
FQ
,得2(y+1)=x2-2(y-1),
化簡(jiǎn)得x2=4y.所以,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2=4y.
(2)軌跡C為拋物線,準(zhǔn)線方程為y=-1,即直線m,所以M(0,-1),
當(dāng)a=0時(shí),直線m'的方程為x=0,與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn),故a≠0.
所以直線m'的方程為
x
a
=y+1
,由
x=ay+a
x2=4y
 得a2y2+(2a2-4)y+a2=0,
由△=4(a2-2)2-4a4>0,得0<a2<1.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=
4
a2
-2
,y1y2=1,
所以x1+x2=
4
a
,x1x2=4,
若FA⊥FB,則
FA
FB
=0
,即(x1,y1-1)•(x2,y2-1)=0,x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=0,4+1-(
4
a2
-2)+1=0
,
解得.所以a=±
2
2

(3)由(2),得線段AB的中點(diǎn)為(
2
a
 , 
2
a2
-1)
,
線段AB的垂直平分線的一個(gè)法向量為
n
=(a , 1)
,
所以線段AB的垂直平分線的方程為a(x-
2
a
)+(y-
2
a2
+1)=0
,
令x=0,y0=
2
a2
+1
,
因?yàn)?<a2<1,所以
2
a2
+1>3

所以y0的取值范圍是(3,+∞).
點(diǎn)評(píng):本題主要考查拋物線的方程與性質(zhì)、向量的運(yùn)算及其數(shù)量積、直線與拋物線的位置關(guān)系、線段的垂直平分線等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力,考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想.
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1
|x-1|
,x≠1
1,x=1
,若關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有3個(gè)不同的整數(shù)解x1,x2,x3,則x12+x22+x32等于
5
5

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1
2
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2

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1
1

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