Question

（2013•嘉定區(qū)二模）設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=

1 |x-1| ，x≠1 1，x=1

，若關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有3個(gè)不同的整數(shù)解x₁，x₂，x₃，則x₁²+x₂²+x₃²等于

5

．

Answer 1

分析：根據(jù)已知中函數(shù)f(x)=

1 |x-1| ，x≠1 1，x=1

的解析式，我們可以畫出函數(shù)f(x)=

1 |x-1| ，x≠1 1，x=1

的圖象，根據(jù)圖象我們可以判斷出關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有3個(gè)不同的整數(shù)解x₁，x₂，x₃時(shí)，x₁，x₂，x₃的值，進(jìn)而求出x₁²+x₂²+x₃²的值．

解答：解：函數(shù)f(x)=

1 |x-1| ，x≠1 1，x=1

的圖象如圖所示：
由圖易得函數(shù)的值域?yàn)椋?，+∞）
令t=f（x）
則方程f²（x）+bf（x）+c=0
可化為t²+bt+c+0，
若此方程無正根，則方程f²（x）+bf（x）+c=0無根
若此方程有一個(gè)非1的正根，則方程f²（x）+bf（x）+c=0有兩根；
若此方程有一個(gè)等 1的正根，則方程f²（x）+bf（x）+c=0有三根；
此時(shí)t=f（x）=1，x₁=0，x₂=1，x₃=2，x₁²+x₂²+x₃²=5
若此方程有兩個(gè)非1的正根，則方程f²（x）+bf（x）+c=0有四根；
若此方程有一個(gè)非1，一個(gè)等1的正根，則方程f²（x）+bf（x）+c=0有五根；
綜上x₁²+x₂²+x₃²=5
故答案為：5

點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的解析式及其圖象的作法，根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，其中畫出函數(shù)f(x)=

1 |x-1| ，x≠1 1，x=1

的圖象，根據(jù)圖象我們可以判斷出關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有3個(gè)不同的整數(shù)解x₁，x₂，x₃時(shí)，所滿足的條件是解答醒本題的關(guān)鍵．