Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知

m

=(2cosA，

3

sinA)，

n

=(cosA，-2cosA)，

m

•

n

=-1．
（1）若a=2

3

，c=2，求△ABC的面積；
（2）求

b-2c

acos(60°+C)

的值．

Answer 1

分析：（1）由題意可求得即A=

π

3

，sinC=

1

2

，C∈（0，

2π

3

），于是可得C=

π

6

，故B=

π

2

，從而可求△ABC的面積；
（2）可利用正弦定理將

b-2c

acos(60°+C)

中的邊轉化為相對角的正弦，利用三角函數(shù)中的恒等變換即可求得答案．

解答：（1）由2cos²A-2

3

sinAcosA=-1可知，sin（2A-

π

6

）=1，…4分
因為0＜A＜π，所以2A-

π

6

∈（-

π

6

，

11π

6

），
所以2A-

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

…6分
由正弦定理可知：

a

sinA

=

c

sinC

，
∴sinC=

1

2

，因為C∈（0，

2π

3

）
所以C=

π

6

，所以B=

π

2

…8分
∴S_△ABC=

1

2

×2×2

3

=2

3

…10分
（2）原式=

sinB-2sinC

sinAcos(600+C)

=

sinB-2sinC

3 2 cos(600+C)

=

sin(1200-C)-2sinC

3 2 cos(600+C)

=

3 2 cosC- 3 2 sinC

3 2 cos(600+C)

=

3 cos(600+C)

3 2 cos(600+C)

=2…14分．

點評：本題考擦好正弦定理，通過平面向量數(shù)量積的運算考查三角函數(shù)中的恒等變換應，特別是輔助角公式的靈活應用，考查分析運算能力，屬于中檔題．