Question

已知函數(shù)，
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為遞增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在上的最大值和最小值；
（3）試比較與的大小，并說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）由，可得，∴函數(shù)f（x）在遞增，
∵函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為遞增函數(shù)
∴[1，+∞）是的子集，
∴
∵a＞0，∴a≥1．
（2）當(dāng)a=1，由（1）的函數(shù)f（x）在上遞減，在[1，2]上遞增．
則y_min=f（1）=2；
又因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/224069.png' />，
∴
∴．
（3）令a=1，
由（1）得（當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)等號(hào)成立），
兩邊同除t（t＞0）得，
令t=n²，
可得
由累加法得=
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為遞增函數(shù)，可得[1，+∞）是單調(diào)增區(qū)間的子集，由此可確定正實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）確定函數(shù)在上的單調(diào)性，進(jìn)而可求函數(shù)f（x）在上的最大值和最小值；
（3）令a=1，由（1）得（當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)等號(hào)成立），
兩邊同除t（t＞0）得，再令t=n²，進(jìn)而利用累加法，即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查大小比較，解題的關(guān)鍵是正確求出導(dǎo)函數(shù)，合理構(gòu)建不等式，屬于中檔題．