Question

已知點A（0，1）、B（0，-1），P是一個動點，且直線PA、PB的斜率之積為．
（Ⅰ）求動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)Q（2，0），過點（-1，0）的直線l交C于M、N兩點，△QMN的面積記為S，若對滿足條件的任意直線l，不等式S≤λtanMQN恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)動點P的坐標為（x，y），可表示出直線PA，PB的斜率，根據(jù)題意直線PA、PB的斜率之積為建立等式求得x和y的關(guān)系式，即點P的軌跡方程．
（Ⅱ）設(shè)點M，N的坐標，當直線l垂直于x軸時，分別表示出和，進而可求得；再看直線l不垂直于x軸時，設(shè)直線l的方程，把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而表示出判斷出其范圍，綜合求得的最大值，根據(jù)S≤λtanMQN恒成立判斷出恒成立．求得λ的最小值．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)動點P的坐標為（x，y），則直線PA，PB的斜率分別是．
由條件得．
即．
所以動點P的軌跡C的方程為．
（Ⅱ）設(shè)點M，N的坐標分別是（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
當直線l垂直于x軸時，．
所以．
所以．
當直線l不垂直于x軸時，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），
由得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．
所以．
所以．
因為y₁=k（x₁+1），y₂=k（x₂+1），
所以．
綜上所述的最大值是．
因為S≤λtanMQN恒成立，
即恒成立．
由于．
所以cosMQN＞0．
所以恒成立．
所以λ的最小值為．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了知識的綜合運用，分析推理和基本的運算能力．