已知函數(shù)數(shù)學(xué)公式
（1）試判斷函數(shù)的單調(diào)性并加以證明；
（2）當(dāng)f（x）＜a恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，
函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，
設(shè)x1，x2是R內(nèi)任意兩個(gè)值，并且x1＜x2
則==…（5分）
∵x1＜x2∴
∴．
即∴f（x1）＜f（x2）
∴f（x）是R上的增函數(shù)．…（7分）
（2）
∵2x＞0∴2x+1＞1
∴，
∴，
∴
即-1＜f（x）＜1…（10分）
當(dāng)f（x）＜a恒成立時(shí)，a≥1…（12分）
分析：（1）可得函數(shù)的定義域?yàn)镽，再利用單調(diào)性的定義，按照取值、作差、變形、定號下結(jié)論的步驟進(jìn)行正面；
（2）將函數(shù)整理為，從而可求出函數(shù)的值域，進(jìn)而可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評：本題以函數(shù)為載體，考查單調(diào)性的判斷與證明，考查函數(shù)的值域，考查恒成立問題，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù)

（1）試判斷函數(shù)的奇偶性；

（2）解不等式.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年江西省南昌市高三第一次月考理科數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

已知函數(shù).

（1）試判斷函數(shù)F（x）=(x2+1) f (x) – g(x)在[1，+∞)上的單調(diào)性；

（2）當(dāng)0＜a＜b時(shí)，求證：函數(shù)f (x) 定義在區(qū)間[a,b]上的值域的長度大于（閉區(qū)間[m，n]的長度定義為n –m）．

（3）方程f(x)=是否存在實(shí)數(shù)根？說明理由。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年廣東省惠州市高考數(shù)學(xué)一模（四調(diào)）試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)
（1）試判斷f（x）的單調(diào)性，并說明理由；
（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）求證：[（n+1）!]2＞（n+1）•en-2，（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年四川省成都市石室中學(xué)高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)
（1）試判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；
（3）試證明：對?n∈N*，不等式．

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