Question

定義在實數集R上的函數f(x)=

1

3

x3+

1

2

(a-4)x2+2(2-a)x+a與y軸的交點為A，點A到原點的距離不大于1；
（1）求a的范圍；
（2）是否存在這樣的區(qū)間，使對任意a，f（x）在該區(qū)間上為增函數？若存在，求出該區(qū)間，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）函數圖象與y軸交點為（0，a），則|a|≤1，從而可求
（2）對函數求導，由函數f（x）在該區(qū)間上為增函數可得f'（x）＞0對任意的a∈[-1，1]恒成立，構造關于a的函數g（a）=（x-2）a+x²-4x+4＞0對任意的a∈[-1，1]恒成，結合一次函數的性質可求x的范圍

解答：解：（1）函數圖象與y軸交點為（0，a），則|a|≤1，∴-1≤a≤1；------------------（3分）
（2）f'（x）=x²+（a-4）x+2（2-a）=（x-2）a+x²-4x+4，---------------（7分）
令f'（x）＞0對任意的a∈[-1，1]恒成立，
即不等式g（a）=（x-2）a+x²-4x+4＞0對任意的a∈[-1，1]恒成立，---（9分）
其充要條件是：

g(1)=x2-3x+2＞0 g(-1)=x2-5x+6＞0

，------------（11分）
解得x＜1，或x＞3．--------------（13分）
所以當x∈（-∞，1）或x∈（3，+∞）時，f'（x）＞0對任意a∈[-1，1]恒成立，
所以對任意a∈[-1，1]函數f（x）均是單調增函數．--------------（14分）
故存在區(qū)間（-∞，1）和（3，+∞），對任意a∈[-1，1]，f（x）在該區(qū)間內均是單調增函數．

點評：本題主要考查了利用導數與函數 的單調性的關系的應用，解題的關鍵是根據導數的知識得到f'（x）＞0對任意的a∈[-1，1]恒成立時，構造關于a的一次函數進行求解，體現了轉化的思想在解題中的應用．