Question

數(shù)列a_n的首項(xiàng)a1=a≠

1

4

，且an+1=

an+ 1 4 ，n為正奇數(shù) 1 2 an ，n為正偶數(shù)

記bn=a2n-1-

1

4

，n=1，2，3，…．
（1）計算a₂，a₃，a₄；
（2）計算b₁，b₂，b₃；判斷數(shù)列b_n是否為等比數(shù)列，如果是，證明你的結(jié)論；如果不是，說明理由．

Answer 1

分析：（1）將遞推關(guān)系中的n依次用2，3，4代替求出a_n中的三項(xiàng)．
（2）將bn=a2n-1-

1

4

中的n依次用1，2，3代替求出b_n中的三項(xiàng)，據(jù)前三項(xiàng)猜測是等比數(shù)列，利用遞推關(guān)系迭代出b_n中相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，據(jù)等比數(shù)列的定義得證．

解答：解：（1）a2=a1+

1

4

=a+

1

4

，
a3=

1

2

a 2=

1

2

(a+

1

4

)，
a4=a3+

1

4

=

1

2

a+

3

8

（2）b1=a1-

1

4

=a-

1

4

≠0
b2=a3-

1

4

=

1

2

(a-

1

4

)，
b3=a5-

1

4

=

1

4

(a-

1

4

)．
歸納猜想出數(shù)列b_n為首項(xiàng)a-

1

4

，公比是

1

2

等比數(shù)列．
證明：bn+1=a2n+1-

1

4

=

1

2

a2n-

1

4

=

1

2

(a2n-1+

1

4

)-

1

4

=

1

2

(a2n-1-

1

4

)=

1

2

bn(n∈N*)，
所以數(shù)列b_n為首項(xiàng)a-

1

4

，公比是

1

2

等比數(shù)列．

點(diǎn)評：本題考查利用遞推關(guān)系求數(shù)列的特殊項(xiàng)；通過迭代的方法證明數(shù)列是等比數(shù)列；等比數(shù)列的定義．