Question

已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，且log2 an+1 =log2an+1，數(shù)列{b_n•a_n}是等差數(shù)列，首項為1，公差為2，其中n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；       
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)log₂a_n+1=log₂a_n+1，可得

an+1

an

=2，從而數(shù)列{a_n}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，由此可得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）根據(jù)數(shù)列{b_n•a_n}是等差數(shù)列，首項為1，公差為2，可得b_n•a_n=2n-1，從而bn=

2n-1

2n-1

，再用錯位相減法求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

解答：解：（1）∵log₂a_n+1=log₂a_n+1，∴

an+1

an

=2
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列
∵a₁=1，∴an=2n-1；
（2）∵數(shù)列{b_n•a_n}是等差數(shù)列，首項為1，公差為2
∴b_n•a_n=2n-1，∴bn=

2n-1

2n-1

∴Sn=

1

20

+

3

21

+…+

2n-1

2n-1

∴

1

2

Sn=

1

21

+

3

22

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

兩式相減可得：

1

2

Sn=1-2(

1

21

+

1

22

+…+

1

2n-1

)-

2n-1

2n

=3-

2n-3

2n

∴Sn=6-

2n-3

2n-1

點評：本題考查等比數(shù)列的通項的求解，考查錯位相減法求數(shù)列的和，確定數(shù)列的通項是關(guān)鍵，屬于中檔題．