Question

如圖，曲線C₁是以原點(diǎn)O為中心、F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓的一部分，曲線C₂是以O(shè)為頂點(diǎn)、F₂為焦點(diǎn)的拋物線的一部分，A是曲線C₁和C₂的交點(diǎn)，曲線C₁的離心率為，若，．
（Ⅰ）求曲線C₁和C₂所在的橢圓和拋物線方程；
（Ⅱ）過F₂作一條與x軸不垂直的直線，分別與曲線C₁、C₂依次交于B、C、D、E四點(diǎn)，若G為CD中點(diǎn)、H為BE中點(diǎn)，問是否為定值？若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）因?yàn)闄E圓的離心率為，所以=，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103104436552604590/SYS201311031044365526045017_DA/3.png">，所以可求出a，再根據(jù)，求出C，就可得到b的值，求出橢圓方程．也就可得F₂的坐標(biāo)，再根據(jù)曲線C₂是以O(shè)為頂點(diǎn)、F₂為焦點(diǎn)的拋物線，求出拋物線方程．
（Ⅱ）先設(shè)出B，E，C，D四點(diǎn)坐標(biāo)，以及過F₂作的與x軸不垂直的直線方程，分別代入橢圓方程和拋物線方程，求y₁+y_2，
y₁y₂，y₃+y₄，y₃y₄，再代入，化簡(jiǎn)即可．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，則2a=，得a=3
所以橢圓方程為，拋物線方程為y²=4x．    
（Ⅱ）設(shè)B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），直線y=k（x-1），代入得：，即（8+9k²）y²+16ky-64k²=0
則=-，y₁y₂=-
同理，y=k（x-1），代入y²=4x得，ky^2-4y-4k=0
則y₃+y₄=，y₃y₄=-4
∴==3
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓，拋物線方程的求法，以及直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷，做題時(shí)要細(xì)心．