精英家教網(wǎng)如圖,曲線(xiàn)C1是以原點(diǎn)O為中心、F1,F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓的一部分,曲線(xiàn)C2是以O(shè)為頂點(diǎn)、F2為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)的一部分,A是曲線(xiàn)C1和C2的交點(diǎn),曲線(xiàn)C1的離心率為
1
3
,若|AF1|=
7
2
,|AF2|=
5
2

(Ⅰ)求曲線(xiàn)C1和C2所在的橢圓和拋物線(xiàn)方程;
(Ⅱ)過(guò)F2作一條與x軸不垂直的直線(xiàn),分別與曲線(xiàn)C1、C2依次交于B、C、D、E四點(diǎn),若G為CD中點(diǎn)、H為BE中點(diǎn),問(wèn)
|BE|•|GF2|
|CD|•|HF2|
是否為定值?若是,求出定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(Ⅰ)因?yàn)闄E圓的離心率為
1
3
,所以
c
a
=
1
3
,因?yàn)?span id="myusa0s" class="MathJye">|AF1|=
7
2
|AF2|=
5
2
,所以可求出a,再根據(jù)
c
a
=
1
3
,求出C,就可得到b的值,求出橢圓方程.也就可得F2的坐標(biāo),再根據(jù)曲線(xiàn)C2是以O(shè)為頂點(diǎn)、F2為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn),求出拋物線(xiàn)方程.
(Ⅱ)先設(shè)出B,E,C,D四點(diǎn)坐標(biāo),以及過(guò)F2作的與x軸不垂直的直線(xiàn)方程,分別代入橢圓方程和拋物線(xiàn)方程,求y1+y2,
y1y2,y3+y4,y3y4,再代入
|BE|•|GF2|
|CD|•|HF2|
,化簡(jiǎn)即可.
解答:精英家教網(wǎng)解:(Ⅰ)設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1
,則2a=|AF1|+|AF2|=
7
2
+
5
2
=6
,得a=3
所以橢圓方程為
x2
9
+
y2
8
=1
,拋物線(xiàn)方程為y2=4x.    
(Ⅱ)設(shè)B(x1,y1),E(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),直線(xiàn)y=k(x-1),代入
x2
9
+
y2
8
=1
得:8(
y
k
+1)2+9y2-72=0
,即(8+9k2)y2+16ky-64k2=0
則=-
16k
8+9k2
,y1y2=-
64k2
8+9k2

同理,y=k(x-1),代入y2=4x得,ky2-4y-4k=0
則y3+y4=
4
k
,y3y4=-4
|BE|•|GF2|
|CD|•|HF2|
=
|y1-y2|
|y3-y4|
1
2
|y1+y2|
1
2
|y3+y4|
=3
點(diǎn)評(píng):本題考查了橢圓,拋物線(xiàn)方程的求法,以及直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系的判斷,做題時(shí)要細(xì)心.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,曲線(xiàn)C1是以原點(diǎn)O為中心、F1,F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓的一部分,曲線(xiàn)C2是以O(shè)為頂點(diǎn)、F2為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)的一部分,A是曲線(xiàn)C1和C2的交點(diǎn)且∠AF2F1為鈍角,若|AF1|=
7
2
,|AF2|=
5
2
,
(1)求曲線(xiàn)C1和C2的方程;
(2)過(guò)F2作一條與x軸不垂直的直線(xiàn),分別與曲線(xiàn)C1、C2依次交于B、C、D、E四點(diǎn),若G為CD中點(diǎn)、H為BE中點(diǎn),問(wèn)
|BE|•|GF2|
|CD|•|HF2|
是否為定值?若是求出定值;若不是說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,精英家教網(wǎng)曲線(xiàn)C1是以原點(diǎn)O為中心,F(xiàn)1,F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓的一部分,曲線(xiàn)C2是以O(shè)為頂點(diǎn),F(xiàn)2(1,0)為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)的一部分,A(
3
2
,
6
)
是曲線(xiàn)C1和C2的交點(diǎn).
(I)求曲線(xiàn)C1和C2所在的橢圓和拋物線(xiàn)的方程;
(II)過(guò)F2作一條與x軸不垂直的直線(xiàn),與曲線(xiàn)C2交于C,D兩點(diǎn),求△CDF1面積的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•孝感模擬)如圖,曲線(xiàn)C1是以原點(diǎn)O為中心,F(xiàn)1,F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓的一部分.曲線(xiàn)C2是以O(shè)為頂點(diǎn),F(xiàn)2為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)的一部分,A是曲線(xiàn)C1和C2的交點(diǎn)且∠AF2F1為鈍角,若|AF1|=
7
2
,|AF2|=
5
2

(I)求曲線(xiàn)C1和C2的方程;
(II)設(shè)點(diǎn)C是C2上一點(diǎn),若|CF1|=
2
|CF2|,求△CF1F2的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,曲線(xiàn)C1是以原點(diǎn)O為中心,F(xiàn)1、F2為焦點(diǎn)的橢圓的一部分,曲線(xiàn)C2是以原點(diǎn)O為頂點(diǎn),F(xiàn)2為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)的一部分,A(
3
2
6
)
是曲線(xiàn)C1和C2的交點(diǎn).
(Ⅰ)求曲線(xiàn)C1和C2所在的橢圓和拋物線(xiàn)的方程;
(Ⅱ)過(guò)F2作一條與x軸不垂直的直線(xiàn),分別與曲線(xiàn)C1、C2依次交于B、C、D、E四點(diǎn),若G為CD中點(diǎn),H為BE中點(diǎn),問(wèn)
|BE|•|GF2|
|CD|•|HF2|
是否為定值,若是,求出定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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