Question

設(shè)拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|=5，若以MF為直徑的圓過點(diǎn)（0，2），則C的方程為（　�。�

A．y²=4x或y²=8x

B．y²=2x或y²=8x

C．y²=4x或y²=16x

D．y²=2x或y²=16x

Answer 1

分析：根據(jù)拋物線方程算出|OF|，設(shè)以MF為直徑的圓過點(diǎn)A（0，2），在Rt△AOF中利用勾股定理算出|AF|，再由直線AO與以MF為直徑的圓相切得到∠OAF=∠AMF，Rt△AMF中利用∠AMF的正弦建立關(guān)系式，從而得到關(guān)于p的方程，解之得到實(shí)數(shù)p的值，進(jìn)而得到拋物線C的方程．

解答：解：∵拋物線C方程為y²=2px（p＞0），
∴焦點(diǎn)F坐標(biāo)為（

p

2

，0），可得|OF|=

p

2

，
∵以MF為直徑的圓過點(diǎn)（0，2），
∴設(shè)A（0，2），可得AF⊥AM，
∴Rt△AOF中，|AF|=

( p 2 )2+4

=

p2+16

2

，
則sin∠OAF=

OF

AF

=

p 2

p2+16 2

=

p

p2+16

，
根據(jù)拋物線的定義，可得直線AO切以MF為直徑的圓于A點(diǎn)，
∴∠OAF=∠AMF，
∴Rt△AMF中，sin∠AMF=

AF

MF

=

p

p2+16

，
∵|MF|=5，|AF|=

p2+16

2

，
∴

p2+16 2

5

=

p

p2+16

，整理得p²+16=10p，
解得：p=2或p=8，
∴拋物線C的方程為y²=4x或y²=16x．
故選：C．

點(diǎn)評：本題給出拋物線一條長度為5的焦半徑MF，以MF為直徑的圓交拋物線于點(diǎn)（0，2），求拋物線的方程，著重考查了拋物線的定義與簡單幾何性質(zhì)、圓的性質(zhì)和解直角三角形等知識，屬于中檔題．