Question

在直角坐標(biāo)系xoy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知直線ρ（

2

cosθ-sinθ）-2a=0與曲線

x=sinθ+cosθ y=1+sin2θ

（θ為參數(shù)）有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，根據(jù)直線和曲線兩個(gè)不同的交點(diǎn)，可得由直線方程、曲線方程組成的方程組有2個(gè)解，可得對應(yīng)的一元二次方程判別式大于零，由此求得a范圍．

解答： 解：直線ρ（

2

cosθ-sinθ）-2a=0 化為直角坐標(biāo)方程為

2

x-y-2a=0，
曲線

x=sinθ+cosθ y=1+sin2θ

（θ為參數(shù)）消去參數(shù)，化為直角坐標(biāo)方程為 y=x²，x∈[-

2

，

2

]．
根據(jù)直線和曲線兩個(gè)不同的交點(diǎn)，可得

2 x-y-2a=0 y=x2

 在[-

2

，

2

]有兩個(gè)解，
故方程 x²-

2

x+2a=0 在[-

2

，

2

]上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根．
令f（x）=x²-

2

x+2a，顯然，f（x）的對稱軸為x=

2

2

，根據(jù)題意可得

△=2-8a＞0 - 2 ＜ 2 2 ＜ 2 f(- 2 )=4+2a≥0 f( 2 )=2a≥0

，
求得0≤a＜

1

4

，
故答案為：[0，

1

4

）．

點(diǎn)評：本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．