Question

設正數(shù)數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，a₂=4，a₄=16，記b_n=2•log₂a_n
（1）求a_n和b_n；
（2）證明：對任意的n∈N⁺，有

b1+1

b1

•

b2+1

b2

…

bn+1

bn

＞

n+1

成立．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,等比數(shù)列的性質

專題：綜合題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法,不等式的解法及應用

分析：（1）先根據(jù)a₂=4，a₄=16求出數(shù)列{a_n}的通項公式，利用b_n=2•log₂a_n，求出b_n；
（2）利用數(shù)學歸納法進行證明，①當n=1時，不等式成立，②假設當n=k時不等式成立，然后證明當n=k+1時，不等式成立，從而證得結論．

解答： （1）解：正數(shù)數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，a₂=4，a₄=16，可知q²=4，
又a_n＞0，∴a_n=2ⁿ，
∴b_n=2•log₂a_n=2n．
（2）證明：①當n=1時，左邊=

3

2

，右邊=

2

，因為

3

2

＞

2

，所以不等式成立．
②假設當n=k時不等式成立，即

b1+1

b1

•

b2+1

b2

…

bk+1

bk

＞

k+1

成立．
則當n=k+1時，左邊=

b1+1

b1

•

b2+1

b2

…

bk+1

bk

•

bk+1+1

bk+1

＞

k+1

•

2k+3

2k+2

=

(k+1)+1+ 1 4(k+1)

＞

(k+1)+1

∴當n=k+1時，不等式也成立．
由①、②可得不等式恒成立．

點評：本題主要考查了數(shù)列與不等式的綜合，以及等差數(shù)列求和和利用數(shù)學歸納法證明不等式，屬于中檔題．