Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；

（2）若對(duì)恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）有極小值為，無(wú)極大值；（2）

【解析】

試題分析：（1）時(shí)，，令，解得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故有極小值為，無(wú)極大值；（2）本題轉(zhuǎn)化為在恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)并分類討論，可求得.

試題解析：

（1）時(shí)，，令，解得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. 故有極小值為，無(wú)極大值.

（2）解法一：在恒成立，

∵，即在恒成立，

不妨設(shè)，，則.

①當(dāng)時(shí)，，故，∴在上單調(diào)遞增，從而，

∴不成立.

②當(dāng)時(shí)，令，解得：，

若，即，

當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，故，不合題意；

若，即，

當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)，故，符合題意.

綜上所述，若對(duì)恒成立，則.

解法二：由題，.

令，則

①當(dāng)時(shí)，在時(shí)，，從而，∴在上單調(diào)遞增，

∴，不合題意；

②當(dāng)時(shí)，令，可解得.

（Ⅰ）若，即，在時(shí)，，∴，∴在上為減函數(shù)，∴，符合題意；

（Ⅱ）若，即，當(dāng)時(shí)，，∴時(shí)，

∴在上單調(diào)遞增，從而時(shí)，不合題意.

綜上所述，若對(duì)恒成立，則.