Question

如圖，已知AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，若AB=AC=AD=

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CE．
（Ⅰ）求證：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：平面BDE⊥平面BCE．

Answer 1

證明：（Ⅰ）取BE的中點(diǎn)G，連接GF，GD．


∵F是BC的中點(diǎn)，
則GF為△BCE的中位線．
∴GF∥EC，GF=

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CE．
∵AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，
∴GF∥EC∥AD．
又∵AD=

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2

CE，
∴GF=AD．
∴四邊形GFAD為平行四邊形．
∴AF∥DG．
∵DG?平面BDE，AF?平面BDE，
∴AF∥平面BDE．
（Ⅱ）∵AB=AC，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，
∴AF⊥BC．
∵EC∥GF，EC⊥平面ABC，∴GF⊥平面ABC．
又AF?平面ABC，
∴GF⊥AF．
∵GF∩BC=F，
∴AF⊥平面BCE．
∵AF∥DG，
∴DG⊥平面BCE．
又DG?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BCE．