Question

如圖，已知AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，若．
（Ⅰ）求證：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：平面BDE⊥平面BCE．

Answer 1

【答案】分析：（I）取BE的中點(diǎn)G，連接GF，GD．利用三角形的中位線(xiàn)定理即可得到GF∥EC，．由AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理即可得到AD∥EC，進(jìn)而即可判斷四邊形AFGD 為平行四邊形，得到AF∥DG，再利用線(xiàn)面平行的判定定理即可證明；
（II）利用等腰三角形的性質(zhì)即可得到AF⊥BC，再利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)得到GF⊥AF，利用線(xiàn)面垂直的判定定理即可證明AF⊥平面BEC，而DG∥AF，得到DG⊥平面BEC，利用面面垂直的定理即可證明結(jié)論．
解答：證明：（Ⅰ）取BE的中點(diǎn)G，連接GF，GD．
∵F是BC的中點(diǎn)，
則GF為△BCE的中位線(xiàn)．
∴GF∥EC，．
∵AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，
∴GF∥EC∥AD．
又∵，
∴GF=AD．
∴四邊形GFAD為平行四邊形．
∴AF∥DG．
∵DG?平面BDE，AF?平面BDE，
∴AF∥平面BDE．
（Ⅱ）∵AB=AC，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，
∴AF⊥BC．
∵EC∥GF，EC⊥平面ABC，∴GF⊥平面ABC．
又AF?平面ABC，
∴GF⊥AF．
∵GF∩BC=F，
∴AF⊥平面BCE．
∵AF∥DG，
∴DG⊥平面BCE．
又DG?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BCE．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握三角形的中位線(xiàn)定理、線(xiàn)面垂直的判定定理和性質(zhì)定理、等腰三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、面面垂直的判定定理是解題的關(guān)鍵．