Question

2．如圖，已知P（x₀，y₀）是橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}$=1上一點，過原點的斜率分別為k₁，k₂的兩條直線與圓（x-x₀）²+（y-y₀）²=$\frac{4}{5}$分別相切于A，B兩點．
（1）若橢圓離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求橢圓的標準方程；
（2）在（1）的條件下，求k₁k₂的值．

Answer 1

分析 （1）由題意，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=1，可得a=2，即可求橢圓的標準方程；
（2）推導出k₁，k₂是方程（4-5x₀²）k²+10x₀y₀k+4-5y₀²=0的兩根，由此能利用韋達定理能求出k₁k₂值．

解答 解：（1）由題意，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=1，∴a=2，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
（2）由圓P與直線OA：y=k₁x相切，
可得$\frac{|k{x}_{0}-{y}_{0}|}{\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
即（4-5x₀²）k₁²+10x₀y₀k₁+4-5y₀²=0，
同理，（4-5x₀²）k₂²+10x₀y₀k₂+4-5y₀²=0，
即有k₁，k₂是方程（4-5x₀²）k²+10x₀y₀k+4-5y₀²=0的兩根，
可得k₁k₂=$\frac{4-5{{y}_{0}}^{2}}{4-5{{x}_{0}}^{2}}$=$\frac{-1+\frac{5}{4}{{x}_{0}}^{2}}{4-4{{x}_{0}}^{2}}$=-$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查橢圓的方程與性質，考查直線與圓的位置關系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．