Question

下列四個(gè)命題：
①定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（-2）=f（2），則f（x）不是奇函數(shù)；
②定義在R上的函數(shù)f（x）恒滿足f（-x）=|f（x）|，則f（x）一定是偶函數(shù)；
③一個(gè)函數(shù)的解析式為y=x²，它的值域?yàn)閧0，1，4}，這樣的不同函數(shù)共有9個(gè)；
④設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+

1+x2

）-x，則對(duì)于定義域中的任意x₁，x₂（x₁≠x₂），恒有

f(x1)-f(x2)

x1-  x2

＞-1．
其中為真命題的序號(hào)有

②③④

（填上所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：對(duì)于①給出反例y=x³-4x得出其為假命題；對(duì)于②可得f（x）≥0，則f（-x）=f（x），根據(jù)偶函數(shù)的定義進(jìn)行判定即可；對(duì)于③，列舉出所求滿足條件的函數(shù)即可；對(duì)于④，可說明函數(shù)的切線的斜率的取值范圍，從而得到平均變換率的范圍．

解答：解：對(duì)于①，給出函數(shù)y=x³-4x，滿足f（-2）=f（2），但f（x）是奇函數(shù)，說明③是假命題；
對(duì)于②，由f（-x）=|f（x）|≥0得f（-x）≥0對(duì)于任意x成立，則x取-x也成立即f（x）≥0，則f（-x）=f（x），∴f（x）一定是偶函數(shù)，該命題是真命題；
對(duì)于③，函數(shù)的解析式為y=x²，它的值域?yàn)閧0，1，4}，定義域可以為{0，1，2}，{0，1，-2}，{0，-1，2}，{0，-1，-2}，{0，-1，1，2}，{0，-1，1，2}，{0，1，-2，2}，{0，-1，-2，2}，{0，-1，1，-2，2}共9個(gè)，故這樣的不同函數(shù)共有9個(gè)，該命題是真命題；
對(duì)于④，函數(shù)g（x）=ln（x+

1+x2

）在R上遞增，則g′（x）＞0，f′（x）=g′（x）-1＞-1，則對(duì)于定義域中的任意x₁，x₂（x₁≠x₂），恒有

f(x1)-f(x2)

x1-  x2

＞-1，該命題是真命題．
故答案為：②③④

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)性質(zhì)的判定，以及命題的真假判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．