Question

在一個特定時段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的7n mile以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點(diǎn)E正北55n mile處有一個雷達(dá)觀測站A，某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東45°且與點(diǎn)A相距40 n mile的位置B，經(jīng)過40分鐘又測得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東 (其中，)且與點(diǎn)A相距10n mile的位置C．

（I）求該船的行駛速度（單位：n mile /h）;
（II）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷它是否會進(jìn)入警戒水域，并說明理由.

Answer 1

（I）船的行駛速度為（海里/小時）.（II）船會進(jìn)入警戒水域.

解析試題分析：(I)根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求出,然后利用余弦定理求出BC的值，從而可求出船的行駛速度.
(II)判斷船是否會進(jìn)入警戒水域，關(guān)鍵是看點(diǎn)E到直線l的距離與半徑7的關(guān)系，因而可求出直線l的方程，以及E點(diǎn)坐標(biāo)，然后再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得到結(jié)論.
（I）如圖，AB=40，AC=10，
由于,所以cos=
由余弦定理得BC=
所以船的行駛速度為（海里/小時）.
（II）解法一  如圖所示，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是B（x₁，y₂）, C（x₁，y₂）,
BC與x軸的交點(diǎn)為D.
由題設(shè)有，x₁=y₁= AB=40,
x₂=ACcos,
y₂=ACsin
所以過點(diǎn)B、C的直線l的斜率k=,直線l的方程為y=2x-40.
又點(diǎn)E（0，-55）到直線l的距離d=
所以船會進(jìn)入警戒水域.
解法二: 如圖所示，設(shè)直線AE與BC的延長線相交于點(diǎn)Q.
在△ABC中，由余弦定理得，
==.
從而
在中，由正弦定理得，AQ=
由于AE=55>40=AQ，所以點(diǎn)Q位于點(diǎn)A和點(diǎn)E之間，且QE=AE-AQ=15.
過點(diǎn)E作EP BC于點(diǎn)P，則EP為點(diǎn)E到直線BC的距離.
在Rt中，PE=QE·sin
=所以船會進(jìn)入警戒水域.
考點(diǎn)：正余弦定理在解三角形當(dāng)中的應(yīng)用，直線方程，點(diǎn)到直線的距離，直線與圓的位置關(guān)系.
點(diǎn)評：掌握正余弦定理及能解決的三角形類型是解三角形的前提.第（II）問關(guān)鍵是知道如何判斷船是否會進(jìn)入警戒水域,實(shí)質(zhì)是直線與圓的位置關(guān)系的判斷.