Question

在△ABC為正三角形的斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面BCC₁B₁是矩形，側(cè)棱與底面ABC成30°角，作A₁H⊥面ABC于H，連接AH并延長交BC于P，AP=2A₁H．
（Ⅰ）證明：B₁C₁⊥面A₁AH；
（Ⅱ）求二面角A-BC-A₁的正切值；
（Ⅲ）若A₁H=BC=1，求四棱錐A₁-BB₁C₁C體積．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）利用直線與平面垂直的判定定理證明BC⊥平面A₁AH，即可證明：B₁C₁⊥面A₁AH；
（Ⅱ）推出二面角A-BC-A₁的平面角，然后通過解三角形求解即可得到所求角的正切值；
（Ⅲ）求四棱錐A₁-BB₁C₁C體積．轉(zhuǎn)化為 棱柱的體積減去棱錐的體積即可．

解答： 解：（Ⅰ）A₁H⊥面ABC于H，BC∈平面ABC，∴A₁H⊥BC，AA₁∥BB₁，
側(cè)面BCC₁B₁是矩形，∴BC⊥BB₁，即BC⊥A₁A，∴A₁A∩A=A，∴BC⊥平面A₁AH，
∴證明：B₁C₁⊥面A₁AH；
（Ⅱ）連接AH并延長交BC于P，AP=2A₁H，由（Ⅰ）可知∠A₁PH就是所求二面角A-BC-A₁的平面角，
∵側(cè)棱與底面ABC成30°角，
∴

A1H

AH

=tan30°=

3

3

，HP=AP-AH=2A₁H-

3

A₁H，
所求二面角A-BC-A₁的正切值：

A1H

HP

=

1

2- 3

=2+

3

；
（Ⅲ）由A₁H=BC=1，所以四棱錐A₁-BB₁C₁C體積為：
V三棱柱-VA1-ABC=

3

4

AB2•A1H-

1

3

×

3

4

AB2•A1H
=

3

6

AB2•A1H．
=

3

6

．

點評：他考查二面角的平面角的求法，直線與平面垂直的判定定理的應用，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力．