Question

給出下列三個命題：①函數(shù)y=f（1+x）的圖象與函數(shù)y=f（1-x）的圖象關(guān)于直線x=0對稱；②函數(shù)f（x）=2sinxcos|x|的最小正周期為w=1．；③若數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列且a_n=n²+kn+2（n∈N^*），則k∈（-3，+∞）．其中真命題的個數(shù)為（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

Answer 1

【答案】分析：逐個加以判斷：①考查函數(shù)y=f（1+x）與函數(shù)y=f（1-x）的圖象的對稱性，可以設(shè)F（x）=f（1+x），則函數(shù)y=f（1-x）=F（-x），根據(jù)F（x）與F（-x）圖象關(guān)于y軸對稱，得出①是真命題；
②根據(jù)三角函數(shù)周期性的法則，周期應(yīng)該是兩個函數(shù)周期的最小公倍數(shù)2π，得出②不正確；③由a_n=n²+kn+2（n∈N^*），得出a_n+1-a_n＞0對一切正整數(shù)都成立，由此解出k的取值范圍，可知③也是正確的．因此不難給出正確答案．
解答：解：①考察函數(shù)y=f（1+x）與函數(shù)y=f（1-x）的圖象的對稱性，可以設(shè)F（x）=f（1+x），則函數(shù)y=f（1-x）=F（-x）
∵F（x）與F（-x）圖象關(guān)于y軸對稱，y軸即直線x=0
∴函數(shù)y=f（1+x）的圖象與函數(shù)y=f（1-x）的圖象關(guān)于直線x=0對稱；故①是真命題；
②函數(shù)y=sinx的最小值周期是2π，y=cos|x|的最小值周期是π，
根據(jù)三角函數(shù)周期性的法則，f（x）=2sinxcos|x|的最小正周期應(yīng)該是兩個函數(shù)周期的最小公倍數(shù)2π，得出②不正確；
③由a_n=（n∈N^*），得出a_n+1-a_n＞0對一切正整數(shù)都成立，
即：不等式（n+1）2+k（n+1）2-（n²+kn+2）≥0，對任意的正整數(shù)n恒成立
解之得k＞-2n-1，而-2n-1的最大值為-3
因此k的取值范圍為k∈（-3，+∞），可知③也是正確的．
故選C
點(diǎn)評：本題綜合了數(shù)列的單調(diào)性、函數(shù)的周期與函數(shù)的圖象等問題，考查了命題真假的判斷，屬于中檔題．熟練掌握函數(shù)與數(shù)列的相關(guān)知識，是解決好本題的關(guān)鍵．