Question

數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=3a_n，n∈N₊．
（1）求{a_n}的通項公式及前n項和S_n；
（2）已知{b_n}是等差數(shù)列，且b₁=a₁，b₃=a₃，T_n為{a_nb_n}的前n項和，求T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的前n項和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得{a_n}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，由此能求出{a_n}的通項公式及前n項和S_n．
（2）由已知得b₁=a₁=1，b3=a3=32=9，從而d=

b3-b1

3-1

=

9-1

3-1

=4，進(jìn)而b_n=1+（n-1）×4=4n-3，由此得到a_nb_n=（4n-3）3^n-1，再利用錯位相減法能求出{a_nb_n}的前n項和．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=3a_n，n∈N₊．
∴{a_n}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，
∴a_n=3^n-1.Sn=

1-3n

1-3

=

3n-1

2

．
（2）∵{b_n}是等差數(shù)列，且b₁=a₁，b₃=a₃，
∴b₁=a₁=1，b3=a3=32=9，
∴d=

b3-b1

3-1

=

9-1

3-1

=4，
∴b_n=1+（n-1）×4=4n-3，
∵由（1）可得a_nb_n=（4n-3）3^n-1，
∴S_n=3⁰+5×3¹+9×3²+…+（4n-7）×3^n-2+（4n-3）×3^n-1，
3S_n=3¹+5×3²+9×3³+…+（4n-7）×3^n-1+（4n-3）×3ⁿ，
兩式相減得：
-2S_n=1+4×3+4×3²+4×3³+…+4×3^n-1-（4n-3）×3ⁿ
=1+4（3+3²+3³+…+3^n-1）-（4n-3）×3ⁿ
=1+

4×3×(1-3n-1)

1-3

-（4n-3）×3ⁿ
=（5-4n）×3ⁿ-5，
∴S_n=

(4n-5)3n+5

2

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意錯位相減法的合理運用．