設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足．

(Ⅰ)若求a3，a4，并猜想a2008的值(不需證明)；

(Ⅱ)若對n≥2恒成立，求a2的值．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)因a1＝2，a2＝2－2，故

　　由此有a1＝2(－2)0，a2＝2(－2)4，a3＝2(－2)2，a4＝2(－2)3，

　　從而猜想an的通項為

　　，

　　所以a2xn＝．

　　(Ⅱ)令xn＝log2an．則a2＝2x2，故只需求x2的值．

　　設(shè)Sn表示x2的前n項和，則a1a2…an＝，由2≤a1a2…an＜4得

　　≤Sn＝x1＋x2＋…＋xn＜2(n≥2)．

　　因上式對n＝2成立，可得≤x1＋x2，又由a1＝2，得x1＝1，故x2≥．

　　由于a1＝2，(n∈N*)，得(n∈N*)，即

　　，

　　因此數(shù)列{xn+1＋2xn}是首項為x2＋2，公比為的等比數(shù)列，故

　　xn+1＋2xn＝(x2＋2)(n∈N*)．

　　將上式對n求和得

　　Sn+1－x1＋2Sn＝(x2＋2)(1＋＋…＋)＝(x2＋2)(2－)(n≥2)．

　　因Sn＜2，Sn+1＜2(n≥2)且x1＝1，故

　　(x2＋2)(2－)＜5(n≥2)．

　　因此2x2－1＜(n≥2)．

　　下證x2≤，若淆，假設(shè)x2＞，則由上式知，不等式

　　2n－1＜

　　對n≥2恒成立，但這是不可能的，因此x2≤．

　　又x2≥，故z2＝，所以a2＝2＝．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}和{bn}滿足5an，5bn，5an+1成等比數(shù)列，lgbn，lgan+1，lgbn+1成等差數(shù)列，且a1=1，b1=2，a2=3，求通項an、bn．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知2a2=a1+a3，數(shù)列{
Sn
}是公差為d的等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式（用n，d表示）；
（2）設(shè)c為實數(shù)，對滿足m+n=3k且m≠n的任意正整數(shù)m，n，k，不等式Sm+Sn＞cSk都成立．求證：c的最大值為
9
2
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知2a2=a1+a3，數(shù)列{
Sn
}是公差為d的等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式（用n，d表示）；
（Ⅱ）設(shè)c為實數(shù)，對滿足m+n=3k且m≠n的任意正整數(shù)m，n，k，不等式Sm+Sn＞cSk都成立．求c的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•廣東）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足4Sn=
a
2
n+1
-4n-1，n∈N*，且a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列．
（1）證明：a2=
4a1+5
；
（2）求數(shù)列{an}的通項公式；
（3）證明：對一切正整數(shù)n，有
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
＜
1
2
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，對于任意的正整數(shù)n都有等式Sn=
1
4
a
2
n
+
1
2
an（n∈N*）成立．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）令數(shù)列bn=|c|
an
2n
，Tn為數(shù)列{bn}的前n項和，若Tn＞8對n∈N*恒成立，求c的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案