設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}和{bn}滿足5an,5bn,5an+1成等比數(shù)列,lgbn,lgan+1,lgbn+1成等差數(shù)列,且a1=1,b1=2,a2=3,求通項(xiàng)an、bn
分析:由等比中項(xiàng)、等差中項(xiàng)的性質(zhì)得an+1=
bnbn+1
遞推出an=
bn-1bn
(n≥2).
解答:解:∵5an,5bn,5an+1成等比數(shù)列,
∴(5an2=5bn•5an+1,即2bn=an+an+1.①
又∵lgbn,lgan+1,lgbn+1成等差數(shù)列,
∴2lgan+1=lgbn+lgbn+1,即an+12=bn•bn+1.②
由②及ai>0,bj>0(i、j∈N*)可得
an+1=
bnbn+1
.③
∴an=
bn-1bn
(n≥2).④
將③④代入①可得2bn=
bn-1bn
+
bnbn+1
(n≥2),
∴2
bn
=
bn-1
+
bn+1
(n≥2).
∴數(shù)列{
bn
}為等差數(shù)列.
∵b1=2,a2=3,a22=b1•b2,∴b2=
9
2

bn
=
2
+(n-1)(
9
2
-
2

=
1
2
(n+1)(n=1也成立).
∴bn=
(n+1)2
2

∴an=
bn-1bn
=
n2
2
(n+1)2
2

=
n(n+1)
2
(n≥2).
又當(dāng)n=1時,a1=1也成立.
∴an=
n(n+1)
2
點(diǎn)評:本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題呢.解題過程中注意由Sn求an時要注意驗(yàn)證a1與S1是否一致.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知2a2=a1+a3,數(shù)列{
Sn
}
是公差為d的等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式(用n,d表示);
(2)設(shè)c為實(shí)數(shù),對滿足m+n=3k且m≠n的任意正整數(shù)m,n,k,不等式Sm+Sn>cSk都成立.求證:c的最大值為
9
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知2a2=a1+a3,數(shù)列{
Sn
}
是公差為d的等差數(shù)列.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式(用n,d表示);
(Ⅱ)設(shè)c為實(shí)數(shù),對滿足m+n=3k且m≠n的任意正整數(shù)m,n,k,不等式Sm+Sn>cSk都成立.求c的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•廣東)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足4Sn=
a
2
n+1
-4n-1,n∈N*
,且a2,a5,a14構(gòu)成等比數(shù)列.
(1)證明:a2=
4a1+5
;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)證明:對一切正整數(shù)n,有
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
1
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,對于任意的正整數(shù)n都有等式Sn=
1
4
a
2
n
+
1
2
an
(n∈N*)成立.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)令數(shù)列bn=|c|
an
2n
,Tn
為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,若Tn>8對n∈N*恒成立,求c的取值范圍.

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