【題目】如圖3,是一個(gè)直角梯形,
,
為
邊上一點(diǎn),
、
相交于
,
,
,
.將△
沿
折起,使平面
⊥平面
,連接
、
,得到如圖4所示的四棱錐
.
(Ⅰ)求證:⊥平面
;
(Ⅱ)求直線與面
所成角的余弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】【試題分析】(I)在中,求得
,由此證得
,
,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得到
平面
,即
,由此可證得
平面
.(2) O為原點(diǎn),OA、OD、OB所在直線分別為
軸、
軸、
軸建立空間直角坐標(biāo)系通過計(jì)算直線
的方向向量和平面
的法向量計(jì)算得線面角的正弦值,再利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為余弦值.
【試題解析】
(Ⅰ)在中,
,
,所以
同理,從而
,
又因?yàn)?/span>,所以
是平行四邊形,
因?yàn)槠矫?/span>平面
,平面
平面
=AE,
,
所以平面
又平面
,所以
,
所以
(Ⅱ)(方法一)由(Ⅰ)可知,直線OA、OB、OD兩兩互相垂直,因此,以O為原點(diǎn),OA、OD、OB所在直線分別為軸、
軸、
軸建立空間直角坐標(biāo)系
(如圖所示)
則,
,
,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
,則
解得,
,取
所以直線與面
所成角的余弦值為
.
(方法二)由(Ⅰ)可知,四邊形的面積
連接,則△
的面積
,
三棱錐的體積
△的面積
設(shè)到平面
的距離為
,則
,
直線與面
所成角的正弦值為
,余弦值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)某校高三年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本,得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù),根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下:
(1)求出表中M,p及圖中a的值;
(2)若該校高三學(xué)生有240人,試估計(jì)高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間(10,15)內(nèi)的人數(shù);
(3)在所取樣本中,從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人,求至多一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[25,30)內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ex-x2+a,x∈R的圖象在x=0處的切線方程為y=bx.(e≈2.718 28)
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)當(dāng)x∈R時(shí),求證:f(x)≥-x2+x;
(3)若f(x)>kx對(duì)任意的x∈(0,+∞)恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面
為菱形,
平面
,
,
,
,
分別是
,
的中點(diǎn).
(1)證明: ;
(2)設(shè)為線段
上的動(dòng)點(diǎn),若線段
長(zhǎng)的最小值為
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】試題分析:(1)證明線線垂直則需證明線面垂直,根據(jù)題意易得,然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得
,又
,因此
得
平面
,從而得證(2)先找到EH什么時(shí)候最短,顯然當(dāng)線段
長(zhǎng)的最小時(shí),
,在
中,
,
,
,∴
,由
中,
,
,∴
.然后建立空間直角坐標(biāo)系,寫出兩個(gè)面法向量再根據(jù)向量的夾角公式即可得余弦值
解析:(1)證明:∵四邊形為菱形,
,
∴為正三角形.又
為
的中點(diǎn),∴
.
又,因此
.
∵平面
,
平面
,∴
.
而平面
,
平面
且
,
∴平面
.又
平面
,∴
.
(2)如圖, 為
上任意一點(diǎn),連接
,
.
當(dāng)線段長(zhǎng)的最小時(shí),
,由(1)知
,
∴平面
,
平面
,故
.
在中,
,
,
,
∴,
由中,
,
,∴
.
由(1)知,
,
兩兩垂直,以
為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,又
,
分別是
,
的中點(diǎn),
可得,
,
,
,
,
,
,
所以,
.
設(shè)平面的一法向量為
,
則因此
,
取,則
,
因?yàn)?/span>,
,
,所以
平面
,
故為平面
的一法向量.又
,
所以
.
易得二面角為銳角,故所求二面角的余弦值為
.
【題型】解答題
【結(jié)束】
20
【題目】【2018湖北七市(州)教研協(xié)作體3月高三聯(lián)考】已知橢圓:
的左頂點(diǎn)為
,上頂點(diǎn)為
,直線
與直線
垂直,垂足為
點(diǎn),且點(diǎn)
是線段
的中點(diǎn).
(I)求橢圓的方程;
(II)如圖,若直線:
與橢圓
交于
,
兩點(diǎn),點(diǎn)
在橢圓
上,且四邊形
為平行四邊形,求證:四邊形
的面積
為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在極坐標(biāo)系中曲線的極坐標(biāo)方程為:
,以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以極軸為
軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系,曲線
的參數(shù)方程為:
(
為參數(shù)),點(diǎn)
.
(1)求出曲線的直角坐標(biāo)方程和曲線
的普通方程;
(2)設(shè)曲線與曲線
相交于
兩點(diǎn),求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,直角梯形中,
,
、
分別是
、
上的點(diǎn),且
,
.沿
將四邊形
翻折至
,連接
、
、
,得到多面體
,且
.
(Ⅰ)求多面體的體積;
(Ⅱ)求證:平面⊥平面
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2017吉林延邊州模擬)已知在△ABC中,B(-1,0),C(1,0),且|AB|+|AC|=4.
(1)求動(dòng)點(diǎn)A的軌跡M的方程;
(2)P為軌跡M上的動(dòng)點(diǎn),△PBC的外接圓為☉O1,當(dāng)點(diǎn)P在軌跡M上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)O1到x軸的距離的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)于下列四個(gè)命題:
p1:x0∈(0,+∞),;
p2:x0∈(0,1),lox0>lo
x0;
p3:x∈(0,+∞),<lo
x;
p4:x∈<lo
x.
其中的真命題是( )
A. p1,p3 B. p1,p4
C. p2,p3 D. p2,p4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市民用水?dāng)M實(shí)行階梯水價(jià),每人用水量中不超過立方米的部分按4元/立方米收費(fèi),超出
立方米的部分按10元/立方米收費(fèi),從該市隨機(jī)調(diào)查了10000位居民,獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù),整理得到如下頻率分布直方圖:
(1)如果為整數(shù),那么根據(jù)此次調(diào)查,為使80%以上居民在該月的用水價(jià)格為4元/立方米,
至少定為多少?
(2)假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點(diǎn)值代替,當(dāng)時(shí),估計(jì)該市居民該月的人均水費(fèi).
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