Question

已知F₁、F₂分別是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線右支上 點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|PF₂|：|PO|：|PF₁|=1：2：4，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A、

  2

• B、

  3

• C、2
• D、

  5

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)|PF₂|=t，由|PF₂|：|PO|：|PF₁|=1：2：4，可得|PO|=2t，|PF₁|=4t，運(yùn)用雙曲線的定義，可得3t=2a，
再由余弦定理可得|PF₁|²+|PF₂|²=|OF₁|²+2|OP|²+|OF₂|²，即有16t²+t²=2c²+8t²，即3t=

2

c，再由離心率公式，計(jì)算即可得到．

解答： 解：設(shè)|PF₂|=t，
由|PF₂|：|PO|：|PF₁|=1：2：4，可得|PO|=2t，|PF₁|=4t，
由雙曲線的定義可得，|PF₁|-|PF₂|=3t=2a，
在△PF₁F₂中，OP為中線，
由余弦定理可得|PF₁|²=|OF₁|²+|OP|²-2|OF₁|•|OP|cos∠POF₁，
|PF₂|²=|OF₂|²+|OP|²-2|OF₂|•|OP|cos∠POF₂，
兩式相加，結(jié)合cos∠POF₁+cos∠POF₂=0，可得
|PF₁|²+|PF₂|²=|OF₁|²+2|OP|²+|OF₂|²，
即有16t²+t²=2c²+8t²，即3t=

2

c，
即有2a=

2

c，
則e=

c

a

=

2

．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查離心率的求法，同時(shí)考查余弦定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．