Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足：S_n=1-a_n（n∈N^*）
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）比較的大小（n∈N^*）；
（3）證明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由S_n=1-a_n，解得 ．a_n=S_n-S_n-1=（1-a_n）-（1-a_n-1），由此得2a_n=a_n-1，從而得到數列{a_n}的通項公式；
（2）令，構造函數，求導可知f（x）的最大值是，從而可以比較大�。�
（3）由條件可知且“=”成立的條件是x=a_i，從而可證．
解答：解：（1）∵S_n=1-a_n，當n=1時，a₁=S₁=1-a₁，解得 ．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（1-a_n）-（1-a_n-1），由此得2a_n=a_n-1即
∴數列{a_n}是首項為，公比為 的等比數列，∴
（2）令，構造函數，則，所以f（x）的最大值是，∴，∴
（3）由（2）可知且“=”成立的條件是x=a_i，
所以：，
令，則，
所以：
∴
點評：本題考查等比數列的通項公式的求法和不等式的證明，解題時要熟練掌握數列的性質和應用，屬于難題