Question

已知實(shí)數(shù)a＞0，且滿足以下條件：
①?x∈R，|sinx|＞a有解；
②?x∈[

π

4

，

3π

4

]，sin²x+asinx-1≥0；
求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：全稱命題,特稱命題

專題：轉(zhuǎn)化思想,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),集合

分析：根據(jù)題意，求出①中a的取值范圍，再求出②中a，從而求出它們的交集即可．

解答： 解：∵實(shí)數(shù)a＞0，
∴由①得：0＜a＜1；
由②得：x∈[

π

4

，

3π

4

]時(shí)，sinx∈[

2

2

，1]，
∴由sin²x+asinx-1≥0得：a≥

1

sinx

-sinx，
令t=sinx，則t∈[

2

2

，1]，
∴函數(shù)f(t)=

1

t

-t在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)，
則當(dāng)t∈[

2

2

，1]時(shí)，f(t)=

1

t

-t≤f(

2

2

)=

2

2

，
要使a≥

1

sinx

-sinx在x∈[

π

4

，

3π

4

]上恒成立，則a≥

2

2

；
綜上，a的取值范圍是{a|

2

2

≤a＜1}．

點(diǎn)評：本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了集合的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，是中檔題．