Question

如圖，在棱長為的正方體中，點是棱的中點，點在棱上，且滿足.

（1）求證：；

（2）在棱上確定一點，使、、、四點共面，并求此時的長；

（3）求平面與平面所成二面角的余弦值.

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：本題有兩種方法，第一種是傳統(tǒng)方法：（1）連接，先由正方體的性質得到，以及平面，從而得到，利用直線與平面垂直的判定定理可以得到平面，于是得到；（2）假設四點、、、四點共面，利用平面與平面平行的性質定理得到，，于是得到四邊形為平行四邊形，從而得到的長度，再結合勾股定理得到的長度，最終得到的長度；（3）先延長、交于點，連接，找出由平面與平面所形成的二面角的棱，借助平面，從點在平面內作，連接，利用三垂線法得到為平面與平面所形成的二面角的的平面角，然后在直角中計算的余弦值；

第二種方法是空間向量法：（1）以點為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，確定與的坐標，利用來證明，進而證明

；（2）先利用平面與平面平行的性質定理得到，然后利用空間向量共線求出點的坐標，進而求出的長度；（3）先求出平面和平面的法向量，結合圖形得到由平面和平面所形成的二面角為銳角，最后再利用兩個平面的法向量的夾角來進行計算.

試題解析：（1）如下圖所示，連接，

由于為正方體，所以四邊形為正方形，所以，

且平面，，

，平面，

平面，；

（2）如下圖所示，假設、、、四點共面，則、、、四點確定平面，

由于為正方體，所以平面平面，

平面平面，平面平面，

由平面與平面平行的判定定理得，

同理可得，因此四邊形為平行四邊形，，

在中，，，，

由勾股定理得，

在直角梯形中，下底，直角腰，斜腰，

由勾股定理可得，

結合圖形可知，解得；

（3）延長、，設，連接，則是平面與平面的交線，

過點作，垂足為點，連接，

因為，，所以平面，

因為平面，所以，

所以為平面與平面所成二面角的平面角，

因為，即，因此，

在中，，，

所以，

即，

因為，

所以，

所以，

所以，故平面與平面所成二面角的余弦值為.

空間向量法：

（1）證明：以點為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸，建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、，

所以，，因為，

所以，所以；

（2）設，因為平面平面，

平面平面，平面平面，所以，

所以存在實數，使得，

因為，，所以，

所以，，所以，

故當時，、、、四點共面；

（3）由（1）知，，

設是平面的法向量，

則，即，

取，則，，所以是平面的一個法向量，

而是平面的一個法向量，

設平面與平面所成的二面角為，

則，

故平面與平面所成二面角的余弦值為；

第（1）、（2）問用推理論證法，第（3）問用空間向量法，

（1）、（2）給分同推理論證法.

（3）以點為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸，建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、，

則，，

設是平面的法向量，

則，即，

取，則，，所以是平面的一個法向量，

而是平面的一個法向量，

設平面與平面所成的二面角為，

則，

故平面與平面所成二面角的余弦值為；

考點：1.直線與平面垂直；2.平面與平面平行的性質定理；3.利用三垂線法求二面角；4.空間向量法