Question

【題目】設(shè)為空間中三條互相平行且兩兩間的距離分別為4、5、6的直線，給出下列三個結(jié)論：

①存在使得是直角三角形；

②存在使得是等邊三角形；

③三條直線上存在四點(diǎn)使得四面體為在一個頂點(diǎn)處的三條棱兩兩互相垂直的四面體，其中，所有正確結(jié)論的個數(shù)是( )

A.0B.1C.2D.3

Answer 1

【答案】C

【解析】

本題利用畫圖結(jié)合運(yùn)動變化的思想進(jìn)行分析．我們不妨先將 A、B、C 按如圖所示放置，容易看出此時 BC＜AB＝AC．

現(xiàn)在，我們將 A 和 B 往上移，并且總保持 AB＝AC（這是可以做到的，只要 A、B 的速度滿足一定關(guān)系），而當(dāng)A、B 移得很高很高時，就得到①和②都是正確的．至于③，結(jié)合條件利用反證法的思想方法進(jìn)行說明即可

我們不妨先將 A、B、C按如圖所示放置．

容易看出此時BC＜AB＝AC．

現(xiàn)在，將A和B往上移，

并且總保持AB＝AC（這是可以做到的，只要A、B的速度滿足一定關(guān)系），

而當(dāng)A、B 移得很高很高時，

不難想象△ABC 將會變得很扁，

也就是會變成頂角A“非常鈍”的一個等腰鈍角三角形．

于是，在移動過程中，

總有一刻，使△ABC成為等邊三角形，

亦總有另一刻，使△ABC成為直角三角形（而且還是等腰的）．

這樣，就得到①和②都是正確的．

至于③，如圖所示．

為方便書寫，稱三條兩兩垂直的棱所公共頂點(diǎn)為．

假設(shè)A是，

那么由 AD⊥AB，AD⊥AC，

知 L3⊥△ABC，

從而△ABC三邊的長就是三條直線的距離4、5、6，

這就與AB⊥AC 矛盾．

同理可知D是時也矛盾；

假設(shè)C是，

那么由BC⊥CA，BC⊥CD，

知BC⊥△CAD，

而 l1∥△CAD，故 BC⊥l1，

從而BC為l1與l2的距離，

于是 EF∥BC，EF＝BC，這樣就得到EF⊥FG，矛盾．

同理可知B是時也矛盾．

綜上，不存在四點(diǎn)Ai（i＝1，2，3，4），

使得四面體A1A2A3A4為在一個頂點(diǎn)處的三條棱兩兩互相垂直的四面體．

故選C．