Question

已知，a、b為實(shí)數(shù)）有極值，且x=1處的切線與直線x-y+1=0平行．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若f（x）在（2，+∞）上是單增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)f'（x），然后根據(jù)f'（1）=1可求出a與b的關(guān)系，再由f（x）有極值可知△＞0，消去b可求出a的取值范圍；
（2）根據(jù)f（x）在x＞2上是單增函數(shù)則f'（x）≥0在x＞2上恒成立，將a分離，在利用基本不等式求出不等式另一側(cè)的最大值，結(jié)合（1）可求出a的范圍．
解答：解：（1）f'（x）=x²+2ax-b由f'（1）=1⇒b=2a
又由f（x）有極值?△=4a²+4b＞0⇒a²+b＞0
∴a²+2a＞0⇒a＜-2或a＞0…（4）分
（2）f（x）在x＞2上是單增函數(shù)
則f'（x）=x²+2ax-2a≥0在x＞2上恒成立…（7）分⇒2a（1-x）≤x²…（9）分
令 t=x-1＞1，則只需求的值域
當(dāng)t＞1時(shí)，∴
∴a≥-2，又a＜-2或a＞0故a的取值范圍為a＞0…（12）分
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及極值問題和利用基本不等式求出最值，屬于中檔題．