已知橢圓C1的方程為
x2
4
+y2=1,雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別為C1的左、右頂點(diǎn),而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn).
(Ⅰ)求雙曲線C2的方程;
(Ⅱ)若直線l:y=kx+
2
與橢圓C1及雙曲線C2都恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn),且l與C2的兩個(gè)交點(diǎn)A和B滿足
OA
OB
<6(其中O為原點(diǎn)),求k的取值范圍.
分析:(Ⅰ)設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,然后結(jié)合橢圓的頂點(diǎn)與焦點(diǎn)易得雙曲線的焦點(diǎn)與頂點(diǎn),即求得雙曲線的c與a,再由a2+b2=c2求得b2,則雙曲線方程解決;
(Ⅱ)把直線方程分別與橢圓方程、雙曲線方程聯(lián)立,不妨消y得x的方程,則它們均為一元二次方程且判別式大于零,由此得出k的取值范圍;再結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系用k的代數(shù)式表示出xA+xB,xAxB,進(jìn)而把
OA
OB
<6
轉(zhuǎn)化為k的不等式,求出k的又一取值范圍,最后求k的交集即可.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)雙曲線C2的方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1,則a2=4-1=3,再由a2+b2=c2得b2=1.
故C2的方程為
x2
3
-y2=1.
(II)將y=kx+
2
代入
x2
4
+y2=1得(1+4k2)x2+8
2
kx+4=0
由直線l與橢圓C1恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)得△1=(8
2
)
2
k2
-16(1+4k2)=16(4k2-1)>0,
即k2
1
4

將y=kx+
2
代入
x2
3
-y2=1得(1-3k2)x2-6
2
kx-9=0.
由直線l與雙曲線C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B得
1-3k2≠0
2=(-6
2
k)
2
+36(1-3k2)=36(1-k2)>0.

即k2
1
3
且k2<1.②
設(shè)A(xA,yA)B(xB,yB),則xA+xB=
6
2
k
1-3k2
,xA•xB=
-9
1-3k2

OA
OB
<6得xAxB+yAyB<6,
而xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+
2
)(kxB+
2

=(k2+1)xAxB+
2
(xA+xB)+2
=(k2+1)•
-9
1-3k2
+
2
k•
6
2
k
1-3k2
+2
=
3k2+7
3k2-1

于是
3k2+7
3k2-1
<6,即
15k2-13
3k2-1
>0.
解此不等式得k2
13
15
或k2
1
3
.③
由①、②、③得
1
4
<k2<或
13
15
<k2<1.
故k的取值范圍為(-1,-
13
15
)∪(-
3
3
,-
1
2
)∪(
1
2
,
3
3
)∪(
13
15
,1).
點(diǎn)評:本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線和圓錐曲線的位置關(guān)系,綜合性強(qiáng),字母運(yùn)算能力是一大考驗(yàn).
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C1的方程為
x2
4
+y2=1,雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別是C1的左、右頂點(diǎn),而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn).
(1)求雙曲線C2的方程;
(2)若直線l:y=kx+
2
與雙曲線C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B,且
OA
OB
>2(其中O為原點(diǎn)),求k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C1的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,離心率為
3
2
,兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1和F2,橢圓C1上一點(diǎn)到F1和F2的距離之和為12,橢圓C2的方程為
x2
(a-2)2
+
y2
b2-1
=1
,圓C3:x2+y2+2kx-4y-21=0(k∈R)的圓心為點(diǎn)Ak
(I)求橢圓C1的方程;
(II)求△AkF1F2的面積;
(III)若點(diǎn)P為橢圓C2上的動點(diǎn),點(diǎn)M為過點(diǎn)P且垂直于x軸的直線上的點(diǎn),
|OP|
|OM|
=e
(e為橢圓C2的離心率),求點(diǎn)M的軌跡.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C1的方程為
x24
+y2=1
,雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別為C1的左、右頂點(diǎn),而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn).
(1)求雙曲線C2的方程;
(2)設(shè)過定點(diǎn)M(0,2)的直線l與橢圓C1交于不同的兩點(diǎn)A、B,且滿足|OA|2+|OB|2>|AB|2,(其中O為原點(diǎn)),求l斜率的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C1的方程為
x2
4
+y2=1
,雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別是C1的左、右頂點(diǎn),而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn).
(1)求雙曲線C2的方程;
(2)若直線l:y=kx+
2
與雙曲線C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B,且
OA
OB
>2
(其中O為原點(diǎn)),求k的范圍.
(3)試根據(jù)軌跡C2和直線l,設(shè)計(jì)一個(gè)與x軸上某點(diǎn)有關(guān)的三角形形狀問題,并予以解答(本題將根據(jù)所設(shè)計(jì)的問題思維層次評分).

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