Question

下列命題中正確的是

 

（填寫所有正確命題的編號）．
①若f（x）=x⁵+x⁴+x³+2x+1，則f（2）的值用二進制表示為111101；
②若a＞0，b＞0，m＞0，則

b

a

≤

b+m

a+m

；
③函數(shù)y=xlnx與y=

lnx

x

在點（1，0）處的切線相同；
④?x∈R，e^x≥ex；
⑤已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，f（-1）=3，則f（1）+f（2）+f（3）…+f（2013）+f（2014）的值為-3．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：對于①根據(jù)二進制表示為111101的表示主式即可進行判斷；
對于②根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，比較大小的方法是做差，只需將比較的兩個分式做差與零比較大小即可．

b+m

a+m

-

b

a

=

ab+am-ab-bm

a(a+m)

=

m(a-b)

a(a+m)

，與零比較即可求出．
對于③利用求導法則，以及（lnx）′=

1

x

，求出函數(shù)解析式的導函數(shù)，然后把切點的橫坐標x=1代入導函數(shù)中，求出的導函數(shù)值即為所求切線即得．
對于④用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，先求函數(shù)的導數(shù)，再令其大于0，利用單調(diào)性即可證得．
對于⑤先根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到f（0）=0，再由對稱性得到f（2）=f（0）=0，再由奇函數(shù)和關(guān)于直線x=1對稱得到f（4）=f（-2）=0，同樣得到當x為偶數(shù)時，f（x）=0；根據(jù)f（-1）=3和f（x）為奇函數(shù)得到f（1）=-f（-1）=-3，再由函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=1對稱得到f（3）=f（-1）=3，進而可得到當x為奇數(shù)時，f（x）=1或者-1交替出現(xiàn)，進而可得到f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2014）的值．

解答： 解：①二進制111101即：2⁵+2⁴+2³+2×2+1=f（2）故①正確；
②∵

b+m

a+m

-

b

a

=

ab+am-ab-bm

a(a+m)

=

m(a-b)

a(a+m)

，
∵a＞b＞0，m＞0，∴a-b＞0，a+m＞0
∴

m(a-b)

a(a+m)

＞0
∴

b+m

a+m

＞

b

a

故②錯誤；
③函數(shù)y=xlnx求導得：y′=lnx+1，
把x=1代入導函數(shù)得：y′_|x=1=ln1+1=1，
則所求相切線斜率為1．
 y′=

(lnx)′-lnx•x′

x2

=

1-lnx

x2

，
 y'（1）=1，
又當x=1時y=0
∴切線方程為y=x-1，
切線相同，故③正確．
對于④：設(shè)f（x）=e^x-ex，f′（x）=e^x-e，
令f′（x）＞0得x＞1，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，1]，∴f（x）＞f（1），即?x∈R，e^x≥ex
故④正確．
對于⑤，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)，f（0）=0
∵f（x）關(guān)于直線x=1對稱，∴f（2）=f（0）=0
再由奇函數(shù)性質(zhì)，f（-2）=-f（2）=0
再由關(guān)于直線x=1對稱性質(zhì)，f（4）=f（-2）=0
∴f（-4）=-f（4）=0
∴f（6）=f（-4）=0
…
∴當x為偶數(shù)時，f（x）=0，
由題意，f（-1）=3，
根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)，f（1）=-f（-1）=-3，
根據(jù)關(guān)于直線x=1對稱性質(zhì)，f（3）=f（-1）=3，
不難得出，當x為奇數(shù)時，f（x）=3或者-3，交替出現(xiàn)，最后出現(xiàn)的一個是f（2013），很明顯f（2013）=-3，前面的2012個全部抵消掉了
故而最終結(jié)果就是-3．故⑤正確．
故答案為：①③④⑤．

點評：本題考查了不等式的基本性質(zhì)，要用做差法進行因式分解與0進行比較即可．同時考查了利用導數(shù)求曲線方程上某點切線方程的斜率，求導法則運用，以及簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù)的求法，以及利用函數(shù)性質(zhì)的運用．