Question

給出下列命題：
①在△ABC中，若

AB

•

AC

＞0，則△ABC是鈍角三角形
②在△ABC中，若sinAsinB＜cosAcosB，則△ABC是鈍角三角形
③在△ABC中，若acosA=bcosB，則△ABC是等腰三角形
④若a²+b²＜c²則△ABC為鈍角三角形
⑤若

b

≠

0

，且

a

•

b

=

c

•

b

，則

a

=

c

其中，正確命題序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：解三角形,簡易邏輯

分析：由

AB

•

AC

＞0只能說明∠A為銳角，①錯誤；
由兩角差的余弦得到∠C為鈍角，說明②正確；
由正弦定理結(jié)合倍角的正弦公式得到A=B或A+B=

π

2

，說明③錯誤；
由余弦定理求出∠C為鈍角，說明④正確；
由向量垂直數(shù)量積為0說明⑤錯誤．

解答： 解：對于①，在△ABC中，由

AB

•

AC

＞0，得∠A為銳角，不能說明△ABC是鈍角三角形．命題①錯誤；
對于②，在△ABC中，由sinAsinB＜cosAcosB，得cos（A+B）＞0，則cosC＜0，∠C為鈍角，
則△ABC是鈍角三角形．命題②正確；
對于③，由acosA=bcosB，結(jié)合正弦定理得sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B．
∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=

π

2

．
則△ABC是等腰三角形或直角三角形．命題③錯誤；
對于④，由a²+b²＜c²，得cosC=

a2+b2-c2

2ab

＜0，
∴∠C為鈍角，△ABC為鈍角三角形．命題④正確；
對于⑤，若

b

≠

0

，當

a

，

c

均為非零向量且都與

b

垂直時有

a

•

b

=

c

•

b

，此時

a

與

c

不一定相等．命題⑤錯誤．
∴正確的命題是②④．
故答案為：②④．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，是中檔題．