Question

（2011•遂寧二模）已知向量a=(sinA，cosA)，b=(

3

-1)，a•b=1，且A為銳角．
（I）求角A的大小；
（Ⅱ）求函數(shù)f(x)=cos2x+4cosA•sinx，x∈[

π

6

，

7π

6

]的值域．

Answer 1

分析：（I）直接根據(jù)向量的數(shù)量積計算公式結合輔助角公式即可求角A的大小；
（Ⅱ）先根據(jù)二倍角公式對函數(shù)進行整理，再結合二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值討論即可得到函數(shù)的值域．

解答：解：（I）由題得：

a

•

b

=

3

sinA-cosA=1⇒2sin（A-

π

6

）=1⇒sin（A-

π

6

）=

1

2

．
由A為銳角得：A-

π

6

=

π

6

，所以A=

π

3

．
（Ⅱ）由（I）得：cosA=

1

2

．
所以f（x）=cos2x+2sinx=1-2sin²x+2sinx=-2（sinx-

1

2

）²+

3

2

．
因為x∈[

π

6

，

7π

6

]，所以sinx∈[-

1

2

，1]．
因此當sinx=

1

2

時，f（x）有最大值

3

2

；
當sinx=-

1

2

時，f（x）有最小值-

1

2

．
所以：函數(shù)f（x）的值域為：[-

1

2

，

3

2

]．

點評：本題主要考查平面向量數(shù)量積的運算以及二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求法．求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題時，一定要判斷對稱軸和區(qū)間的位置關系，避免出錯．