Question

已知函數f（x）=e^x的反函數是g（x），點M，N分別是函數f（x），g（x）上的兩個動點，線段MN的最小值是

 

．

Answer 1

考點：反函數

專題：數形結合,函數的性質及應用,導數的概念及應用

分析：由題意，函數f（x）=e^x的反函數是g（x）=lnx，畫出圖形，結合圖形，得出點M，N分別是函數f（x），g（x）上的平行于直線y=x的切線的切點時，線段MN的值最小，求出即可．

解答： 解：∵函數f（x）=e^x的反函數是g（x）=lnx，
畫出圖形，如圖所示；
當點M，N分別是函數f（x），g（x）上的平行于直線y=x的切線的切點時，線段MN的值最小，
此時∵f′（x）=e^x=1，∴x=0，∴M（0，1）；
∵g′（x）=

1

x

=1，∴x=1，∴N（1，0）；
∴|MN|=

2

；
∴MN的最小值是

2

．
故答案為：

2

．

點評：本題考查了函數的圖象與性質以及導數的應用問題，解題時應結合函數的圖象，進行解答，是基礎題．