Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)m∈R，對任意的a∈（-l，1），總存在x_o∈[1，e]，使得不等式ma-（x_o）＜0成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）證明：ln²l+1n²2+…+ln²n＞．

Answer 1

解：（Ⅰ）f′（x）==，x＞0．
令f′（x）＞0，得x＞1，因此函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞）．
令f′（x）＜0，得0＜x＜1，因此函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1）．
（Ⅱ）依題意，ma＜f（x）_max．
由（Ⅰ）知，f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，
∴f（x）_max=f（e）=lne+-1=．
∴ma＜，即ma-＜0對于任意的a∈（-1，1）恒成立．
∴解得-≤m≤．
所以，m的取值范圍是[-，]．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
故f（x）=lnx+-1≥f（1）=0，
∴l(xiāng)nx≥1-，以x²替代x，得lnx²≥1-．
∴l(xiāng)n²l+1n²2+…+ln²n＞1-+1-+…+1-
即ln²l+1n²2+…+ln²n＞n-（++…+）．
又++…+＜1+++…+
∴-（++…+）＞-[1+++…+]
∴n-（++…+）＞n-[1+++…+]=n-[1+1-+-+…+]=，
∴l(xiāng)n1+ln2+…+lnn＞．
由柯西不等式，
（ln²l+1n²2+…+ln²n）（1²+1²+…+1²）≥（ln1+ln2+…+lnn）²．
∴l(xiāng)n²l+1n²2+…+ln²n≥（ln1+ln2+…+lnn）²＞．
∴l(xiāng)n²l+1n²2，+…+ln² n＞．
分析：（I）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，然后求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）依題意，ma＜f（x）_max，由（I）可得f（x）在x=e處取得最大值，故問題轉(zhuǎn)化為ma-＜0對于任意的a∈（-1，1）恒成立，即可求m的取值范圍；
（III）由（Ⅰ）知函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，從而可得lnx²≥1-．再利用疊加及放縮，可得ln1+ln2+…+lnn＞恒成立，再結(jié)合柯西不等式即可證明不等式成立．
點評：本題是中檔題，考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的綜合應(yīng)用，柯西不等式的應(yīng)用，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．