Question

記函數(shù)y=1-2a-2acosx-2sin²x的最小值為f（a）．
（1）求f（a）的表達(dá)式；
（2）若f(a)=

1

2

，求y=1-2a-2acosx-2sin²x的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，化簡函數(shù)的表達(dá)式，配方為2(cosx-

a

2

)2-

a2

2

-2a-1，利用三角函數(shù)的有界性，求f（a）的表達(dá)式；
（2）通過f(a)=

1

2

，求出a的值，然后直接求y=1-2a-2acosx-2sin²x的最大值．

解答：解：（1）y=1-2a-2acosx-2sin²x=1-2a-2acosx-2（1-cos²x）
=2(cosx-

a

2

)2-

a2

2

-2a-1其中cosx∈[-1，1]（2分）
當(dāng)

a

2

≤-1即a≤-2時，（令t=cosx，函數(shù)的對稱軸t=

a

2

）．y在t∈[-1，1]單調(diào)遞增，t=cosx=-1，y_min=1 （1分）
當(dāng)-1＜

a

2

≤1即-2＜a≤2時，cosx=

a

2

，ymin=-

a2

2

-2a-1（1分）
當(dāng)

a

2

＞1即a＞2時，y在[-1，1]單調(diào)遞減，cosx=1，y_min=-4a+1 （1分）
∴f(a)=

1 a≤-2 - a2 2 -2a-1 -2＜a≤2 -4a+1 a＞2

（1分）
（2）當(dāng)-2＜a≤2時，f(a)=-

a2

2

-2a-1=

1

2

⇒a=-1或a=-3（舍）   （2分）
當(dāng)a＞2時，f(a)=-4a+1=

1

2

⇒a=

1

8

（舍）∴a=-1（1分）
此時，y=2cos2x+2cosx+1=2(cosx+

1

2

)2+

1

2

，其中cosx∈[-1，1]（2分）
當(dāng)cosx=1時，y_max=5（1分）

點(diǎn)評：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡求值，最小值的求法，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程的思想的應(yīng)用．