Question

設(shè){a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13．
（1）求{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n-3•（-1）ⁿ•b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意設(shè)出等差數(shù)列及等比數(shù)列的公差及公比，然互根據(jù)通項(xiàng)公式結(jié)合已知列出方程組，解之即可；
（2）分組求和法，而對于{3•（-1）ⁿ•b_n}其實(shí)也是一個(gè)等比數(shù)列，則問題就解決了．

解答： 解：（1）由題意設(shè)an=1+(n-1)d，bn=qn-1，
則由已知得

1+2d+q4=21 1+4d+q2=13

，將上式×2-下式得2q⁴-q²-28=0，
即（2q²+7）（q²-4）=0，所以q²=4，又因?yàn)閧b_n}是各項(xiàng)都為正數(shù)，所以q=2，代入原式得d=2，
an=2n-1，bn=2n-1．
（2）結(jié)合（1）知3•（-1）ⁿ•b_n=-3•（-2）^n-1，
其前n項(xiàng)和為

-3(1-(-2)n)

1-(-2)

=-[1-(-2)n-1]，
{a_n}的前n項(xiàng)和為

n(1+2n-1)

2

=n2，
所以數(shù)列{a_n-3•（-1）ⁿ•b_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²-（-2）^n-1+1．

點(diǎn)評：本題考查了等差等比數(shù)列的基本量運(yùn)算問題，分組法求和的問題，注意計(jì)算要準(zhǔn)確．