Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

2

，并且經(jīng)過定點(diǎn)P（

3

，

1

2

）．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）問是否存在直線y=-x+m，使直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，滿足OA⊥OB，若存在求m值，若不存在說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

2

，并且經(jīng)過定點(diǎn)P（

3

，

1

2

），建立方程，求出a，b，即可求橢圓E的方程；
（Ⅱ）直線y=-x+m代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合OA⊥OB⇒

OA

•

OB

=0，即可求m值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意：e=

c

a

=

3

2

，且

3

a2

+

1

4b2

=1，
解得：a=2，b=1，∴橢圓E的方程為

x2

4

+y2=1------------------（5分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由題意得

x2 4 +y2=1 y=-x+m

⇒x2+4(m-x)2-4=0⇒5x2-8mx+4m2-4=0（*）
所以x1+x2=

8m

5

，x1x2=

4m2-4

5

--------------------------------------------------（7分）y1y2=(m-x1)(m-x2)=m2-m(x1+x2)+x1x2=m2-

8

5

m2+

4m2-4

5

=

m2-4

5

--------（9分）
由OA⊥OB⇒

OA

•

OB

=0
得(x1，y1)•(x2，y2)=0，x1x2+y1y2=0，

4m2-4

5

+

m2-4

5

=0，m=±

2 10

5

----------（11分）
又方程（*）要有兩個(gè)不等實(shí)根，△=(-8m)2-4×5(4m2-4)＞0，-

5

＜m＜

5

m的值符合上面條件，所以m=±

2 10

5

------------------------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．