Question

已知函數(shù)f（x）是定義在（-4，4）上的奇函數(shù)．當(dāng)-4＜x＜0時(shí)，f（x）=log_a（x+b），且圖象過點(diǎn)（-3，0）與點(diǎn)（-2，1）．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b的值，并求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）=m有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，請(qǐng)寫出實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）解關(guān)于x的不等式（x-1）f（x）＜0，寫出解集．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得到關(guān)于a，b的方程組解之即可；
（2）可以借助于函數(shù)圖象的平移、對(duì)稱變換得到函數(shù)f（x）的圖象，然后即可得到m的范圍；
（3）將f（x）代入不等式，然后解之即可，注意分兩種情況．

解答： 解：（Ⅰ）∵log_a（-3+b）=0，∴b-3=1，∴b=4
又∵log_a2=1，∴a=2∴當(dāng)-4＜x＜0時(shí)，f（x）=log₂（x+4）
當(dāng)0＜x＜4時(shí)，-4＜-x＜0，f（-x）=log₂（-x+4）∵f（-x）=-f（x），∴-f（x）=log₂（4-x），
即f（x）=-log₂（4-x），
∴f(x)=

log2(x+4) 0 -log2(4-x)

-4＜x＜0 x=0 0＜x＜4

．
（Ⅱ）易知當(dāng)-4＜x＜0時(shí)，f（x）的圖象是由y=log₂x的圖象沿x軸向左平移4個(gè)單位得到的；
當(dāng)0＜x＜4時(shí)，f（x）的圖象是先將y=log₂x沿y軸對(duì)稱，然后再向右平移4個(gè)單位，最后再沿x軸作對(duì)稱變換，最終得到所求圖象．
據(jù)題意圖象如下：

因?yàn)閒（x）=m的解即為y=f（x）與y=m圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖所示，當(dāng)y=m的取值介于y=-2與y=2之間（去掉y=0）時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，
故所求m的范圍是-2＜m＜0或0＜m＜2．
（Ⅲ）①

x-1＞0 f(x)＜0

，∴

x＞1 x＜-3或0＜x＜3

，
∴1＜x＜3
②

x-1＜0 f(x)＞0

，∴

x＜1 -3＜x＜0或x＞3

，∴-3＜x＜0
綜上：解集為{x|-3＜x＜0或1＜x＜3}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根之間以及與不等式的解之間關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．