Question

已知集合M是滿足下列性質的函數(shù)f（x）的全體：存在非零常數(shù)T，對任意x∈R，
有f（x+T）=T f（x）成立．
（1）函數(shù)f（x）=x是否屬于集合M？說明理由；
（2）設函數(shù)f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的圖象與y=x的圖象有公共點，證明：f（x）=a^x∈M；
（3）若函數(shù)f（x）=sinkx∈M，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）對于非零常數(shù)T，f（x+T）=x+T，Tf（x）=Tx．
因為對任意x∈R，x+T=Tx不能恒成立，
所以f（x）=x∈M；
（2）因為函數(shù)f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的圖象與函數(shù)y=x的圖象有公共點，
所以方程組：有解，
消去y得a^x=x，顯然x=0不是方程a^x=x的解，
所以存在非零常數(shù)T，使aT=T．
于是對于f（x）=ax有f（x+T）=a^x+T=aTa^x=Ta^x=Tf（x）
故f（x）=a^x∈M；
（3）當k=0時，f（x）=0，顯然f（x）=0∈M．
當k≠0時，因為f（x）=sinkx∈M，
所以存在非零常數(shù)T，對任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，即sin（kx+kT）=Tsinkx．
因為k≠0，且x∈R，
所以kx∈R，kx+kT∈R，
于是sinkx∈[﹣1，1]，sin（kx+kT）∈[﹣1，1]，
故要使sin（kx+kT）=Tsinkx．成立，只有T=±1，
當T=1時，sin（kx+k）=sinkx成立，則k=2mπ，m∈Z．
當T=﹣1時，sin（kx﹣k）=﹣sinkx成立，即sin（kx﹣k+π）=sinkx成立，
則﹣k+π=2mπ，m∈Z，
即k=﹣2（m﹣1）π，m∈Z．
綜合得，實數(shù)k的取值范圍是{k|k=mπ，m∈Z}．