已知集合M是滿(mǎn)足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體:存在非零常數(shù)k,對(duì)定義域中的任意x,等式f(kx)=
k2
+f(x)恒成立.
(1)判斷一次函數(shù)f(x)=ax+b(a≠0)是否屬于集合M;
(2)證明函數(shù)f(x)=log2x屬于集合M,并找出一個(gè)常數(shù)k;
(3)已知函數(shù)f(x)=logax( a>1)與y=x的圖象有公共點(diǎn),證明f(x)=logax∈M.
分析:(1)假設(shè)g(x)∈M,即:存在k≠0,使g(kx)=
k
2
+g(x)得出a(k-1)x=
k
2
恒成立,與假設(shè)矛盾,從而得出結(jié)論;
(2)由于當(dāng)log2(kx)=
k
2
+log2x成立時(shí),等價(jià)于log2k=
k
2
,此式顯然當(dāng)k=4時(shí)此式成立,可見(jiàn),存在非零常數(shù)k=4,使g(kx)=
k
2
+g(x),從而得出答案.
(3)因?yàn)閥=logax( a>1)與y=x有交點(diǎn),由圖象知,y=logax與y=
x
2
必有交點(diǎn).從而存在k,f(kx)=loga(kx)=logak+logax=
k
2
+f(x),成立.
解答:解:(1)若f(x)=ax+b∈M,則存在非零常數(shù)k,對(duì)任意x∈D均有f(kx)=akx+b=
k
2
+f(x),
即a(k-1)x=
k
2
恒成立,得
k-1=0
k=0
無(wú)解,所以f(x)∉M.
(2)log2(kx)=
k
2
+log2x,則log2k=
k
2
,k=4,k=2時(shí)等式恒成立,
所以f(x)=log2x∈M.
(3)因?yàn)閥=logax( a>1)與y=x有交點(diǎn),由圖象知,y=logax與y=
x
2
必有交點(diǎn).
設(shè)logak=
k
2
,則f(kx)=loga(kx)=logak+logax=
k
2
+f(x),
所以f(x)∈M.
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查元素與集合關(guān)系的判斷、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、方程式的解法等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知集合M是滿(mǎn)足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體:在定義域內(nèi)存在x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立.
(1)函數(shù)f(x)=
1
x
是否屬于集合M?說(shuō)明理由;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=lg
a
x2+1
∈M
,求a的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù)y=2x圖象與函數(shù)y=-x的圖象有交點(diǎn),證明:函數(shù)f(x)=2x+x2∈M.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知集合M是滿(mǎn)足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體:存在非零常數(shù)T,對(duì)任意x∈R,有f(x+T)=T•f(x)成立.
(1)函數(shù)f(x)=x是否屬于集合M?說(shuō)明理由;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1)的圖象與y=x的圖象有公共點(diǎn),證明:f(x)=ax∈M;
(3)若函數(shù)f(x)=sinkx∈M,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知集合M是滿(mǎn)足下列條件的函數(shù)f(x)的全體;
①當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),函數(shù)值為非負(fù)實(shí)數(shù);
②對(duì)于任意的s、t∈x[0,+∞),λ>0,都有
f(x)+λf(t)
1+λ
≤f(
s+λt
1+λ
)

在三個(gè)函數(shù)f1(x)=x-1,f2(x)=2x-1,f3(x)=ln
x+1
中,屬于集合M的是
f3(x)
f3(x)
(寫(xiě)出您認(rèn)為正確的所有函數(shù).)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•嘉定區(qū)三模)已知集合M是滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件的函數(shù)f(x)的全體:①f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù);②在f(x)的定義域內(nèi)存在閉區(qū)間[a,b],使f(x)在[a,b]上的值域?yàn)?span id="entihfm" class="MathJye">[
a
2
 , 
b
2
].若函數(shù)g(x)=
x-1
+m
,g(x)∈M,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
(0 , 
1
2
]
(0 , 
1
2
]

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