Question

對于正整數(shù)a及整數(shù)b、c，二次方程ax²+bx+c有兩個根α，β，滿足0＜α＜β＜1，求a的最小值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：設(shè)f（x）=ax²+bx+c，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為：f（x）=ax²+bx+c在（0，1）中有兩個不同的零點，由二次函數(shù)的圖象列出不等式，求出a的范圍，再根據(jù)判斷出的結(jié)果進行取值，最后求出a的最小值．

解答： 解：設(shè)f（x）=ax²+bx+c，（a＞0），
∵一元二次方程ax²+bx+c=0在（0，1）中有兩個不同的實數(shù)根，
∴函數(shù)設(shè)f（x）=ax²+bx+c在（0，1）中有兩個不同的零點，
∴

△=b2-4ac＞0 f(0)=c＞0 f(1)=a+b+c＞0 0＜- b 2a ＜1

，得

b2-4ac＞0 c＞0 a＞-b-c -2a＜b＜0

，則

a＜ b2 4c a＞-b-c a＞- b 2

     ①，
∵a、c是正整數(shù)，b是負(fù)整數(shù)，∴取值使

b2

4c

是正整數(shù)：
當(dāng)b=-2，c=1時，由①得a∈∅，此時a無最小整數(shù)值；
當(dāng)b=-4，c=1時，由①得3＜a＜4，此時a無最小整數(shù)值；
當(dāng)b=-6，c=1時，由①得5＜a＜9，此時a有最小整數(shù)值為6；
綜上得，a有最小整數(shù)值為6．

點評：本題主要考查對根的判別式，一元二次方程的根的分布等知識點的理解和掌握，能根據(jù)性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵．