Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率是

3

2

，長軸長是為4
（1）求橢圓的方程；
（2）設過（0，-2）的直線L與曲線C交于A、B兩點，以線段AB為直徑作圓．試問：該圓能否經(jīng)過坐標原點？若能，請寫出此時直線L的方程，并證明你的結論；若不是，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）利用橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率是

3

2

，長軸長是為4，求出a，b，即可求出橢圓的方程；
（2）先假設符合條件的直線l存在，一方面可利用

OA

•

OB

=0；另一方面把直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，在△＞0的條件下可利用根與系數(shù)的關系得到關系式，進而即可得出答案．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率是

3

2

，長軸長是為4，
∴a=2，c=

3

，
∴b=1．
∴動點P的軌跡方程為

x2

4

+y2=1．
（2）當直線l的斜率不存在時，不滿足題意．
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx-2，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
若以線段AB為直徑作圓經(jīng)過坐標原點，則x₁x₂+y₁y₂=0．
∵y₁=kx₁-2，y₂=kx₂-2，
∴（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=0．…①
由方程組

y=kx-2 x2 4 +y2=1

得（1+4k²）x²-16kx+12=0．
∵△=16²k²-4×12×（1+4k²）＞0，∴k²＞

3

4

…②
則x₁+x₂=

16k

1+4k2

，x₁x₂=

12

1+4k2

，
代入①，得（1+k²）×

12

1+4k2

-2k×

16k

1+4k2

+4=0．即k²=4，解得k=2或k=-2，滿足②式．
因此存在直線l，其方程為y=2x-2或y=-2x-2．

點評：熟練掌握圓錐曲線的定義與性質、兩條垂直的充要條件、直線方程與圓錐曲線方程相交問題的處理方法是解題的關鍵．