Question

7．橢圓$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{9}=1$，點$A（{0，\frac{1}{2}}）$，點P為橢圓上一動點，則|PA|的最大值為$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 由橢圓$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{9}=1$，設P（2$\sqrt{3}$cosθ，3sinθ），利用兩點之間的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：由橢圓$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{9}=1$，設P（2$\sqrt{3}$cosθ，3sinθ），
則|PA|=$\sqrt{12co{s}^{2}θ+（3sinθ-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{49}{4}-3si{n}^{2}θ-3sinθ}$=$\sqrt{13-3（sinθ+\frac{1}{2}）^{2}}$$≤\sqrt{13}$，
當且僅當sin$θ=-\frac{1}{2}$時取等號．
因此其最大值為$\sqrt{13}$．
故答案為：$\sqrt{13}$

點評 本題考查了橢圓的參數(shù)方程、兩點之間的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．