Question

已知函數(shù)，，.
（1）求證：函數(shù)在上單調(diào)遞增；
（2）若函數(shù)有四個零點，求的取值范圍.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）實數(shù)的取值范圍是.

解析試題分析：（1）直接利用導數(shù)證明函數(shù)在上單調(diào)遞增，在證明過程中注意導函數(shù)的單調(diào)性；（2）將函數(shù)的零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題處理，但需注意將式子中的絕對值符號去掉，并借助函數(shù)的最值出發(fā)，構造有關參數(shù)的不等式組，再求解參數(shù)的取值范圍.
試題解析：（1），，，
，
，所以，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，
故函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，
故函數(shù)在上單調(diào)遞增；
（2），
，，當時，，則，所以且，
，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
故函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，即，
令，則有，則有或，
即方程與方程的實根數(shù)之和為四，
則有，解得或，
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.
考點：1.函數(shù)的單調(diào)性；2.函數(shù)的零點個數(shù)