Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD，BC=2AD，BC∥AD，AD⊥DC．
（Ⅰ）證明AC⊥PB；
（Ⅱ）求二面角C-PB-A的大�。�

Answer 1

方法一：
（Ⅰ）證明：設PA=AD=CD=a，
∵AD⊥CD=0，BC=2AD
∴BC=2a
∵BC∥AD且BC⊥CD
在Rt△ADC中，，∠ACD=45°
∴△ABC中，∠ACB=45°
由余弦定理AB==a
∴AB²+AC²=BC²
∴∠BAC=90°
∵AB是斜線PB在面ABCD內的射影，AC⊥AB，AC⊥PA，PB∩PA=P
故AC⊥平面PAB
又∵PB?平面PAB
∴AC⊥PB
（Ⅱ）∵PA⊥面ABCD
∴PA⊥CA
∵CA⊥AB  PA∩PB=A
∴CA⊥面PAB
過點A作AE⊥PB于E，連接CE
則∠AEC即為二面角C-PB-A的平面角α
在Rt△PAB中，PB=
∴
在Rt△AEC中，
∵0≤α≤π
∴
方法二：
（Ⅰ）證明：如圖建立空間直角坐標系D-xyz，
設PA=AD=CD=1
∵AD⊥DC，BC=2AD，BC∥AD
∴BC=2且BC⊥CD
則A（1，0，0）B（2，1，0），C（0，1，0）P（1，0，1）
∴=（-1，1，0），=（1，1，-1）
∵•=0
∴，
即AC⊥PB
（Ⅱ）∵=（1，-1，1）=（1，1，-1）
設平面PBC的一個法向量為
∵⊥，⊥
∴，=0
∴
取=（0，-1，-1）
同理可取平面PAB的一個法向量為=（1，-1，0）
∴
∴二面角C-PB-A為．
分析：方法一：（幾何法）
（I）設PA=AD=CD=a，由PA=AD=CD，BC=2AD，BC∥AD，AD⊥DC，解直角三角形ADC及三角形ABC可得∠BAC=90°，進而由三垂線定理得到AC⊥PB；
（Ⅱ）PA⊥面ABCD可得PA⊥CA，結合CA⊥AB及線面垂直的判定定理可得CA⊥面PAB，過點A作AE⊥PB于E，連接CE，由三垂線定理知，∠AEC即為二面角C-PB-A的平面角α解Rt△PAB，可得二面角C-PB-A的大�。�
方法二：（向量法）
（I）建立空間直角坐標系D-xyz，設PA=AD=CD=1，根據AD⊥DC，BC=2AD，BC∥AD，分別求出異面直線AC和PB的方向向量，，根據兩個向量的數量積為0，兩個向量垂直，得到AC⊥PB
（Ⅱ）求出平面PBC的一個法向量，及平面PAB的一個法向量，代入向量夾角公式，可得二面角C-PB-A的大小．
點評：本題考查的知識點是與二面角有關的立體幾何綜合題，空間中直線與直線之間的位置關系，用空間向量求平面間的夾角，其中方法一的關鍵是熟練掌握空間線線關系，線面關系及面面關系的定義，判定及性質，而方法二的關鍵是建立空間坐標系，將線線夾角及線面夾角問題轉化為空間向量夾角問題．