Question

設(shè)定義在R上的偶函數(shù)f(x)，其圖像關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱，并且x∈[2，4]時(shí)，f(x)＝(3－x)³．

(Ⅰ)證明：f(x)＋f(2－x)＝0(x∈R)；

(Ⅱ)證明f(x)－f(x＋4)＝0(x∈R)，并寫出f(x)的最小正周期；

(Ⅲ)求f(x)在[－2，2]上的解析式，并寫出f(x)在R上的單調(diào)遞增區(qū)間(不必證明單調(diào)性)．

Answer 1

答案：
解析：

本小題主要考查函數(shù)基本性質(zhì)、函數(shù)圖像的對(duì)稱特征及抽象運(yùn)算能力． 　　解：(Ⅰ)設(shè)f(x)圖像上任一點(diǎn)(x，f(x))(x∈R)關(guān)于點(diǎn)(1，0)的對(duì)稱點(diǎn)為 (，)，則＝1，＝0， 　　∴＝2－x，代入f(x)＋＝0　　得　　f(x)＋f(2－x)＝0． 　　由x的任意性知f(x)＋f(2－x)＝0對(duì)x∈R恒成立． 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)＋f(2－x)＝0(x∈R)　�、� 　　又f(x)為偶函數(shù)，　　∴f(x)＝f(－x)(x∈R)　�、� 　�、诖�入①得f(－x)＋f(2－x)＝0， 　　即f(x)＋f(2＋x)＝0，　　∴f(x)＝－f(2＋x)＝－[－f((2＋x)＋2)]＝f(4＋x)，　　即f(x)＝f(4＋x)(x∈R)． 　　∴f(x)為周期函數(shù)，且最小正周期為4． 　　(Ⅲ)當(dāng)x∈[－2，0]時(shí)，2≤2－x≤4， 　　∴f(2－x)＝[3－(2－x)]3＝(1＋x)3． 　　又f(x)＋f(2－x)＝0， 　　∴f(x)＝－f(2－x)＝－(1＋x)3． 　　當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，　�。�2≤－x≤0， 　　∴f(－x)＝－(1－x)3， 　　又f(x)＝f(－x)， 　　∴f(x)＝－(1－x)3＝(x－1)3 　　綜上得 　　f(x)＝　　由f(x)的圖像可知，f(x)在[－2，2]上的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，2]．又f(x)在R上以4為最小正周期，所以f(x)在R上的遞增區(qū)間為[4k，4k＋2]．(k∈Z)